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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Expliquons la notation. Un espace de Levi ˜
L
˜
s,1 intervenant dans cette formule
détermine un K-espace de Levi K ˜
L 1 ∈ L(K ˜
M ) par l’égalité A ˜
L1 = A ˜
L
˜
s,1
. Alors
˜
L
˜
s,1 s’identifie à l’espace ˜
L
1 (˜ s) associé à la donnée endoscopique elliptique L
1 (˜ s) de
(KL 1 , K ˜
L 1 , a L1 ). On a l’égalité (f
G
(˜ s) ) L
˜
s,1
= (f ˜
L1,ω )
L
1 (˜ s) . Regroupons les termes
selon les couples (K ˜
L 1 , K ˜
L 2 ) d’espaces de Levi qui apparaissent. Pour un tel
couple, notons S(K ˜
L 1 , K ˜
L 2 ) l’ensemble des ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ tels que
L
i (˜ s) soit elliptique pour i = 1, 2. On obtient
(6)
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f ) =
K ˜
L1,K ˜
L2∈L(K ˜
M)
X(K ˜
L 1 , K ˜
L 2 ),
où
X(K ˜
L 1 , K ˜
L 2 ) =
˜
s∈S(K ˜
L1,K ˜
L2)
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))e
˜
G
(˜ s)
˜
M
( ˜
L
1 (˜ s), ˜
L
2 (˜ s))
S
L
1 (˜ s)
˜
M (δ 1 , B
˜
G , (f 1, ˜
L1,ω )
L
1 (˜ s) )S
L
2 (˜ s)
˜
M (δ 2 , B
˜
G , (f 2, ˜
L2,ω )
L
2 (˜ s) ).
Fixons K ˜
L 1 , K ˜
L 2 ∈ L(K ˜
M ). Soit ˜
s contribuant de façon non nulle à la somme
X( ˜
L 1 , ˜
L 2 ). La donnée G
(˜ s) doit être elliptique (sinon i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)) = 0). Les
données L
i (˜ s) aussi, pour i = 1, 2. Le coefficient e
˜
G
(˜ s)
˜
M
( ˜
L
1 (˜ s), ˜
L
2 (˜ s)) contient
d
˜
G
(˜ s)
˜
M
( ˜
L
1 (˜ s), ˜
L
2 (˜ s)). Celui-ci ne dépend que des espaces A ˜
M , A ˜
G (˜ s) et A ˜
L
i (˜ s)
pour i = 1, 2. Mais, par ellipticité, ces derniers sont respectivement égaux à A ˜
G
et A ˜
Li pour i = 1, 2. On obtient l’égalité
d
˜
G
(˜ s)
˜
M
( ˜
L
1 (˜ s), ˜
L
2 (˜ s)) = d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 ).
Si ce dernier terme est nul, on a donc X(K ˜
L 1 , K ˜
L 2 ) = 0. Supposons d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) =
0. Le calcul ci-dessus permet de récrire
(7)
X(K ˜
L 1 , K ˜
L 2 )
= d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 )
˜
s∈S(K ˜
L1,K ˜
L2)
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))k
˜
G
(˜ s)
˜
M
( ˜
L
1 (˜ s), ˜
L
2 (˜ s))
−1
S
L
1 (˜ s)
˜
M (δ 1 , B
˜
G , (f 1, ˜
L1,ω )
L
1 (˜ s) )S
L
2 (˜ s)
˜
M (δ 2 , B
˜
G , (f 2, ˜
L2,ω )
L
2 (˜ s) ).
Introduisons l’homomorphisme
q : Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
→ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
L 1 )
ΓF , ˆ
θ
⊕ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
L 2 )
ΓF , ˆ
θ .
L’hypothèse d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) = 0 implique qu’il est surjectif et de noyau fini. Pour
˜
s = s ˜
ζ avec s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ , posons q(s) = (s 1 , s 2 ) et ˜
s i = s i ˜
ζ pour
i = 1, 2. On a ˜
L i (˜ s) = ˜
L i (˜ s i ). Montrons que