VI.4. Intégrales orbitales pondérées et endoscopie
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Proposition. Soient M
une donnée endoscopique elliptique et relevante de
(KM, K ˜
M, a M ) et f ∈ I(K ˜
G(F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V )).
(i) Soit δ = ⊗ v∈V δ v ∈ D
st
(M
V ) ⊗ Mes(M
(F V ))
∗ . On a l’égalité
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
L V ∈L( ˜
MV )
d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V )
v∈V
I
K ˜
L
v ,E
K ˜
Mv
(M
v , δ v , f v,K ˜
L v ,ω ).
(ii) Soit δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
V ) ⊗ Mes(M
(F V ))
∗ . On a l’égalité
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(transfert(δ), f ) = I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f ).
Preuve. Dans le cas local, la relation (ii) est vraie d’après (1). Dans le cas présent,
cette relation résulte donc de (i) et de la définition (3). On pourrait prouver (i)
directement. Mais, pour être plus clair, on la décompose en deux assertions :
(4) si V = V 1 V 2 , on a l’égalité
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f )
=
K ˜
L1,K ˜
L2∈L(K ˜
M)
d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 )I
K ˜
L1,E
K ˜
M
(M
, δ 1 , f 1,K ˜
L1,ω )
I
K ˜
L2,E
K ˜
M
(M
, δ 2 , f 2,K ˜
L2,ω )
(avec des notations évidentes) ;
(5) si V est réduit à une place v, on a l’égalité
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f ) =
K ˜
L v ∈L(K ˜
Mv )
d
˜
G
˜
Mv
( ˜
M , ˜
L
v )I
K ˜
L
v ,E
K ˜
Mv
(M
v , δ v , f v,K ˜
L v ,ω ).
Comme dans la démonstration de 4.1, la réunion de ces deux assertions équivaut à (i).
Prouvons (4). Dans le membre de droite de la définition (2), on applique la
formule (ii) de la proposition 4.2. Notons que les fonctions B
˜
Li pour i = 1, 2 qui
interviennent sont les restrictions de la fonction B
˜
G . Pour simplifier, on les note
encore B
˜
G . On obtient
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
˜
L
˜
s,1 , ˜
L
˜
s,2 ∈L
˜
G (˜ s) ( ˜
M )
e
˜
G
(˜ s)
˜
M
( ˜
L
˜
s,1 , ˜
L
˜
s,2 )S
L
1 (˜ s)
M
(δ 1 , B
˜
G , (f
G
(˜ s)
1
) L
1 (˜ s) )S
L
2 (˜ s)
M (δ 2 , B
˜
G , (f
G
(˜ s)
2
) L
2 (˜ s) ).