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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
ci-dessus, les constructions se généralisent au cas où M
est relevante mais pas
elliptique. On a une égalité analogue à (1). Les termes I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ) sont définis
pour γ ∈ D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ .
Revenons à notre corps de nombres F et considérons un K-triplet
(KG, K ˜
G, a)
comme en 1.16. Soient V un ensemble fini de places de F , K ˜
M un élément de
L(K ˜
M 0 ) et M
= (M
, M
, ˜
ζ) une donnée endoscopique elliptique et relevante
de (KM, K ˜
M, a M ). Pour ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ , on définit comme dans le cas local
la donnée endoscopique G
(˜ s) qui contient M
comme donnée de Levi. On pose
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)) = 0 si G
(˜ s) n’est pas elliptique (on utilise ici et dans la suite la
notation symbolique ˜
G au lieu de K ˜
G chaque fois que cela peut se faire sans
ambiguïté). Si cette donnée est elliptique, on pose
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)) = [Z( ˆ
M
)
ΓF : (Z( ˆ
M
)
ΓF
∩ Z( ˆ
M ))]
[Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF : (Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF
∩ Z( ˆ
G))]
−1 .
Comme en [II] 1.12, il y a un homomorphisme naturel
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
→ Z( ˆ
M
)
ΓF /Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF .
Il est surjectif et de noyau fini. Alors i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)) est l’inverse du nombre d’éléments de ce noyau.
On a défini en [V] 1.7 et ci-dessus les espaces D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
v ) et D
st
(M
v )
pour une place v archimédienne. Il s’en déduit comme en 1.8 des espaces
D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
V ) et D
st
(M
v ).
Pour δ ∈ D
st
(M
V ) ⊗ Mes(M
(F V ))
∗ et f ∈ I(K ˜
G(F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V )), on peut
alors définir
(2) I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))S
G
(˜ s)
M (δ, B
˜
G , f
G
(˜ s) ).
Pour définir des termes I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ), on ne peut pas appliquer le même procédé
que dans le cas local car, dans le cas global, il n’y a pas en général suffisamment de données endoscopiques définies sur F de (KM, K ˜
M, a M ) pour écrire
γ comme somme de transfert à partir de telles données. Mais soient γ = ⊗γ v ∈
D g´ eom, ˜
G -équi (K ˜
M (F V ), ω)⊗Mes(F V )
∗ et f = ⊗f v ∈ I(K ˜
G(F V ), ω)⊗Mes(G(F V )).
Puisqu’on a déjà défini les formes bilinéaires locales, on peut poser
(3)
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ) =
K ˜
L V ∈L(K ˜
MV )
d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V )
v∈V
I
K ˜
L
v ,E
K ˜
Mv
(γ v , f v, ˜
L v ,ω ).
Cette définition se prolonge par multilinéarité à tout γ et tout f .
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
ci-dessus, les constructions se généralisent au cas où M
est relevante mais pas
elliptique. On a une égalité analogue à (1). Les termes I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ) sont définis
pour γ ∈ D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ .
Revenons à notre corps de nombres F et considérons un K-triplet
(KG, K ˜
G, a)
comme en 1.16. Soient V un ensemble fini de places de F , K ˜
M un élément de
L(K ˜
M 0 ) et M
= (M
, M
, ˜
ζ) une donnée endoscopique elliptique et relevante
de (KM, K ˜
M, a M ). Pour ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ , on définit comme dans le cas local
la donnée endoscopique G
(˜ s) qui contient M
comme donnée de Levi. On pose
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)) = 0 si G
(˜ s) n’est pas elliptique (on utilise ici et dans la suite la
notation symbolique ˜
G au lieu de K ˜
G chaque fois que cela peut se faire sans
ambiguïté). Si cette donnée est elliptique, on pose
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)) = [Z( ˆ
M
)
ΓF : (Z( ˆ
M
)
ΓF
∩ Z( ˆ
M ))]
[Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF : (Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF
∩ Z( ˆ
G))]
−1 .
Comme en [II] 1.12, il y a un homomorphisme naturel
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
→ Z( ˆ
M
)
ΓF /Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF .
Il est surjectif et de noyau fini. Alors i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)) est l’inverse du nombre d’éléments de ce noyau.
On a défini en [V] 1.7 et ci-dessus les espaces D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
v ) et D
st
(M
v )
pour une place v archimédienne. Il s’en déduit comme en 1.8 des espaces
D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
V ) et D
st
(M
v ).
Pour δ ∈ D
st
(M
V ) ⊗ Mes(M
(F V ))
∗ et f ∈ I(K ˜
G(F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V )), on peut
alors définir
(2) I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))S
G
(˜ s)
M (δ, B
˜
G , f
G
(˜ s) ).
Pour définir des termes I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ), on ne peut pas appliquer le même procédé
que dans le cas local car, dans le cas global, il n’y a pas en général suffisamment de données endoscopiques définies sur F de (KM, K ˜
M, a M ) pour écrire
γ comme somme de transfert à partir de telles données. Mais soient γ = ⊗γ v ∈
D g´ eom, ˜
G -équi (K ˜
M (F V ), ω)⊗Mes(F V )
∗ et f = ⊗f v ∈ I(K ˜
G(F V ), ω)⊗Mes(G(F V )).
Puisqu’on a déjà défini les formes bilinéaires locales, on peut poser
(3)
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ) =
K ˜
L V ∈L(K ˜
MV )
d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V )
v∈V
I
K ˜
L
v ,E
K ˜
Mv
(γ v , f v, ˜
L v ,ω ).
Cette définition se prolonge par multilinéarité à tout γ et tout f .