VI.4. Intégrales orbitales pondérées et endoscopie
685
dans le cas (d), B
˜
G
Ω (N α) = 2n α . La même preuve qu’en [II] 1.11 montre que la
famille de fonctions (B
˜
G
Ω ) Ω∈Ω ainsi définie vérifie les conditions de 1.10.
La même construction vaut si l’on travaille avec un K-triplet (KG, K ˜
G, a)
puisque seule intervient la paire de Borel épinglée associée à ce K-triplet.
VI.4.5 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes endoscopiques
Commençons par quelques rappels locaux. Pour quelques instants, supposons que
F soit un corps local non-archimédien de caractéristique nulle. Considérons un
triplet (G, ˜
G, a) défini sur F , un espace de Levi ˜
M de ˜
G et une donnée endoscopique
M
de (M, ˜
M, a M ) elliptique et relevante. Pour δ ∈ D
st
g´ eom (M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ et
f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )), on a défini en [II] 1.12 un terme I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ). On
en a déduit en [II] 1.15 une forme bilinéaire
(γ, f ) → I
˜
G,E
˜
M
(γ, f )
sur
(D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ ) × (I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F ))).
Le procédé consistait à écrire γ comme somme
i=1,...,n transfert(δ i ), où δ i est
une distribution géométrique stable dans une donnée endoscopiques M
i , et à poser
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) =
i=1,...,n
I
˜
G,E
˜
M
(M
i , δ i , f ).
Pour la suite, on doit généraliser la définition de I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) au cas où M
est une donnée endoscopique de (M, ˜
M , a) qui est relevante mais pas forcément
elliptique. Dans ce cas, il correspond à ˜
M
un Levi ˜
R de ˜
M et M
est une donnée
endoscopique elliptique et relevante de (R, ˜
R, a). On définit
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)I
˜
L,E
˜
R
(M
, δ, f ˜
L,ω ).
En vertu de la relation [II] 1.15(1), on a encore l’égalité
(1)
I
˜
G,E
˜
M
(transfert(δ), f ) = I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ).
Supposons maintenant que F = R ou F = C. Des constructions analogues valent
d’après [V] 1.7, 1.8 et 2.4. Il y a quelques modifications. On doit travailler avec un
K-espace (KG, K ˜
G, a) et un K-espace de Levi K ˜
M . Pour une donnée endoscopique M
de (KM, K ˜
M, a M ) elliptique et relevante, on a défini en [V] 1.7 l’espace
D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
). On note D
st
(M
) la somme de cet espace et de D
st
tr-orb (M
). Les
termes I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f ) sont définis pour δ ∈ D
st
(M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ . Comme
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dans le cas (d), B
˜
G
Ω (N α) = 2n α . La même preuve qu’en [II] 1.11 montre que la
famille de fonctions (B
˜
G
Ω ) Ω∈Ω ainsi définie vérifie les conditions de 1.10.
La même construction vaut si l’on travaille avec un K-triplet (KG, K ˜
G, a)
puisque seule intervient la paire de Borel épinglée associée à ce K-triplet.
VI.4.5 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes endoscopiques
Commençons par quelques rappels locaux. Pour quelques instants, supposons que
F soit un corps local non-archimédien de caractéristique nulle. Considérons un
triplet (G, ˜
G, a) défini sur F , un espace de Levi ˜
M de ˜
G et une donnée endoscopique
M
de (M, ˜
M, a M ) elliptique et relevante. Pour δ ∈ D
st
g´ eom (M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ et
f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )), on a défini en [II] 1.12 un terme I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ). On
en a déduit en [II] 1.15 une forme bilinéaire
(γ, f ) → I
˜
G,E
˜
M
(γ, f )
sur
(D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ ) × (I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F ))).
Le procédé consistait à écrire γ comme somme
i=1,...,n transfert(δ i ), où δ i est
une distribution géométrique stable dans une donnée endoscopiques M
i , et à poser
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) =
i=1,...,n
I
˜
G,E
˜
M
(M
i , δ i , f ).
Pour la suite, on doit généraliser la définition de I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) au cas où M
est une donnée endoscopique de (M, ˜
M , a) qui est relevante mais pas forcément
elliptique. Dans ce cas, il correspond à ˜
M
un Levi ˜
R de ˜
M et M
est une donnée
endoscopique elliptique et relevante de (R, ˜
R, a). On définit
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)I
˜
L,E
˜
R
(M
, δ, f ˜
L,ω ).
En vertu de la relation [II] 1.15(1), on a encore l’égalité
(1)
I
˜
G,E
˜
M
(transfert(δ), f ) = I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ).
Supposons maintenant que F = R ou F = C. Des constructions analogues valent
d’après [V] 1.7, 1.8 et 2.4. Il y a quelques modifications. On doit travailler avec un
K-espace (KG, K ˜
G, a) et un K-espace de Levi K ˜
M . Pour une donnée endoscopique M
de (KM, K ˜
M, a M ) elliptique et relevante, on a défini en [V] 1.7 l’espace
D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
). On note D
st
(M
) la somme de cet espace et de D
st
tr-orb (M
). Les
termes I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f ) sont définis pour δ ∈ D
st
(M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ . Comme