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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Preuve. On utilise la définition.
Pour que S
˜
G
˜
M
(δ, f ) soit non nul, il faut que I
˜
G
˜
M
(δ, f ) soit non nul ou qu’il
existe ˜
s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF avec ˜
s = 1 de sorte que S
G
(˜ s)
M
(δ, f
G
(˜ s) ) soit non nul.
Dans le premier cas, on conclut par le lemme 1.12. Dans le deuxième, l’application
˜
H ˜
MV ne dépendant pas des espaces ambiants ˜
G ou ˜
G
(˜ s), les hypothèses restent
vérifiées si l’on remplace ˜
G par ˜
G
(˜ s). Puisque ˜
s = 1, on peut appliquer le lemme
par récurrence, ce qui conduit encore à la conclusion.
VI.4.4 Le système de fonctions B
˜
G
Revenons au cas général. Soit G
= (G
,G
,˜ s) une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a).
Nous allons munir ˜
G
d’un système de fonctions comme en 1.10 que nous noterons
B
˜
G . On fixe comme toujours une paire de Borel épinglée ˆ
E de ˆ
G pour laquelle
on utilise les notations usuelles, cf. [I] 1.5. En particulier, on suppose ˜
s = s ˆ
θ,
avec s ∈ ˆ
T .
Fixons des paires de Borel épinglées E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) de G et E
=
(B
, T
, (E
α ) α ∈Δ ) de G
. On suppose E
définie sur F . On note ˜
T l’ensemble
des γ ∈ ˜
G tels que ad γ conserve (B, T ) et ˜
T
l’ensemble des δ ∈ ˜
G
tels que ad δ
conserve (B
, T
). On a un homomorphisme ξ : T → T
, qui se prolonge en une
application ˜
ξ : ˜
T → ˜
T
. Soit ∈ ˜
T
, fixons η ∈ ˜
T tel que ˜
ξ(η) = , écrivons
η = νe, avec ν ∈ T et e ∈ Z( ˜
G, E). Notons Σ(T ) l’ensemble des racines de T dans
g et Σ
G
(T
) celui des racines de T
dans g
. On a décrit maintes fois ce dernier
ensemble. C’est la réunion des ensembles
(a) les N α pour α ∈ Σ(T ) de type 1 tels que N α(ν) = 1 et N ˆ
α(s) = 1 ;
(b) les 2N α pour α ∈ Σ(T ) de type 2 tels que N α(ν) = 1 et N ˆ
α(s) = 1 ;
(c) les 2N α pour α ∈ Σ(T ) de type 2 tels que N α(ν) = −1 et N ˆ
α(s) = 1 ;
(d) les N α pour α ∈ Σ(T ) de type 3 tels que N α(ν) = 1 et N ˆ
α(s) = −1.
On a introduit en 1.10 une décomposition ˜
T
= Ω∈Ω Ω. Soit Ω ∈ Ω tel que
∈ Ω. Soit
un autre élément de Ω, que l’on relève en η
= ν
e ∈ ˜
T . Les ensembles
Σ
G
(T
) et Σ
G
(T
) sont égaux par définition de Ω. Une racine N α avec α de type
1 ne saurait être égale à une racine 2N β avec β de type 2, ni à N β avec β du type
3. Donc les racines de type (a) pour sont aussi de type (a) pour
. De même, les
racines de type (d) pour sont aussi de type (d) pour
. Par contre, une racine de
type (b), resp. (c), pour pourrait être de type (b) ou (c) pour
. Mais, en tout
cas, pour une racine 2N α de type (b) ou (c) pour , on a forcément N α(ν
) = ±1.
Or Ω est connexe par définition. Son image réciproque dans ˜
T l’est aussi. Cela
entraîne que N α(ν
) est constant quand
parcourt Ω. Alors les racines de type
(b), resp. (c), pour sont aussi de type (b), resp. (c), pour tout
∈ Ω. On définit
alors une fonction B
˜
G
Ω sur Σ(Ω) = Σ
G
(T
) de la façon suivante. Dans le cas (a),
B
˜
G
Ω (N α) = n α ; dans le cas (b), B
˜
G
Ω (2N α) = 2n α ; dans le cas (c), B
˜
G
Ω (2N α) = n α ;
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Preuve. On utilise la définition.
Pour que S
˜
G
˜
M
(δ, f ) soit non nul, il faut que I
˜
G
˜
M
(δ, f ) soit non nul ou qu’il
existe ˜
s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF avec ˜
s = 1 de sorte que S
G
(˜ s)
M
(δ, f
G
(˜ s) ) soit non nul.
Dans le premier cas, on conclut par le lemme 1.12. Dans le deuxième, l’application
˜
H ˜
MV ne dépendant pas des espaces ambiants ˜
G ou ˜
G
(˜ s), les hypothèses restent
vérifiées si l’on remplace ˜
G par ˜
G
(˜ s). Puisque ˜
s = 1, on peut appliquer le lemme
par récurrence, ce qui conduit encore à la conclusion.
VI.4.4 Le système de fonctions B
˜
G
Revenons au cas général. Soit G
= (G
,G
,˜ s) une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a).
Nous allons munir ˜
G
d’un système de fonctions comme en 1.10 que nous noterons
B
˜
G . On fixe comme toujours une paire de Borel épinglée ˆ
E de ˆ
G pour laquelle
on utilise les notations usuelles, cf. [I] 1.5. En particulier, on suppose ˜
s = s ˆ
θ,
avec s ∈ ˆ
T .
Fixons des paires de Borel épinglées E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) de G et E
=
(B
, T
, (E
α ) α ∈Δ ) de G
. On suppose E
définie sur F . On note ˜
T l’ensemble
des γ ∈ ˜
G tels que ad γ conserve (B, T ) et ˜
T
l’ensemble des δ ∈ ˜
G
tels que ad δ
conserve (B
, T
). On a un homomorphisme ξ : T → T
, qui se prolonge en une
application ˜
ξ : ˜
T → ˜
T
. Soit ∈ ˜
T
, fixons η ∈ ˜
T tel que ˜
ξ(η) = , écrivons
η = νe, avec ν ∈ T et e ∈ Z( ˜
G, E). Notons Σ(T ) l’ensemble des racines de T dans
g et Σ
G
(T
) celui des racines de T
dans g
. On a décrit maintes fois ce dernier
ensemble. C’est la réunion des ensembles
(a) les N α pour α ∈ Σ(T ) de type 1 tels que N α(ν) = 1 et N ˆ
α(s) = 1 ;
(b) les 2N α pour α ∈ Σ(T ) de type 2 tels que N α(ν) = 1 et N ˆ
α(s) = 1 ;
(c) les 2N α pour α ∈ Σ(T ) de type 2 tels que N α(ν) = −1 et N ˆ
α(s) = 1 ;
(d) les N α pour α ∈ Σ(T ) de type 3 tels que N α(ν) = 1 et N ˆ
α(s) = −1.
On a introduit en 1.10 une décomposition ˜
T
= Ω∈Ω Ω. Soit Ω ∈ Ω tel que
∈ Ω. Soit
un autre élément de Ω, que l’on relève en η
= ν
e ∈ ˜
T . Les ensembles
Σ
G
(T
) et Σ
G
(T
) sont égaux par définition de Ω. Une racine N α avec α de type
1 ne saurait être égale à une racine 2N β avec β de type 2, ni à N β avec β du type
3. Donc les racines de type (a) pour sont aussi de type (a) pour
. De même, les
racines de type (d) pour sont aussi de type (d) pour
. Par contre, une racine de
type (b), resp. (c), pour pourrait être de type (b) ou (c) pour
. Mais, en tout
cas, pour une racine 2N α de type (b) ou (c) pour , on a forcément N α(ν
) = ±1.
Or Ω est connexe par définition. Son image réciproque dans ˜
T l’est aussi. Cela
entraîne que N α(ν
) est constant quand
parcourt Ω. Alors les racines de type
(b), resp. (c), pour sont aussi de type (b), resp. (c), pour tout
∈ Ω. On définit
alors une fonction B
˜
G
Ω sur Σ(Ω) = Σ
G
(T
) de la façon suivante. Dans le cas (a),
B
˜
G
Ω (N α) = n α ; dans le cas (b), B
˜
G
Ω (2N α) = 2n α ; dans le cas (c), B
˜
G
Ω (2N α) = n α ;