VI.4. Intégrales orbitales pondérées et endoscopie
683
se décompose en le produit de
Z( ˆ
M )
ΓF
Z( ˆ
G) ΓF
→
Z( ˆ
M )
ΓF
Z( ˆ
L 1 ) ΓF
⊕
Z( ˆ
M )
ΓF
Z( ˆ
L 2 ) ΓF
et de
Z( ˆ
M )
ΓF
Z( ˆ
L 1 ) ΓF
⊕
Z( ˆ
M )
ΓF
Z( ˆ
L 2 ) ΓF
→
⊕ v∈V1
Z( ˆ
M v )
ΓF v
Z( ˆ
L v ) ΓF v
⊕
⊕ v∈V2
Z( ˆ
M v )
ΓF v
Z( ˆ
L v ) ΓF v
.
Tous ces homomorphismes sont surjectifs. Donc le nombre d’éléments k
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V )
du noyau du composé est le produit des nombres d’éléments des noyaux des deux
homomorphismes ci-dessus. Ceux-ci sont respectivement
k
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) et k
˜
L1
˜
MV 1
( ˜
M , ˜
L
V1 )k
˜
L2
˜
MV 2
( ˜
M , ˜
L
V2 ).
Cela prouve (9) et achève la preuve de l’implication (ii) + (iii) implique (i).
En fait, on a prouvé que, si on admettait (i) pour les facteurs du membre
de droite de (ii), alors ce membre de droite était égal à celui de (i). Mais cela
démontre que (i) implique (ii). De plus, (iii) n’est que (i) dans le cas particulier
où V n’a qu’un élément. Donc (i) implique (ii) + (iii).
Le (i) de cette proposition ramène la preuve des propriétés requises de la
forme bilinéaire (δ, f ) → S
˜
G
˜
M
(δ, f ) à celle des mêmes propriétés pour ses avatars
locaux. En ce qui concerne les propriétés formelles, on a fait cette preuve en [II]
1.10. La propriété de stabilité a été prouvée en [III] 2.8 dans le cas non-archimédien,
en [V] 1.5 et section 4 dans le cas archimédien. Cela prouve le théorème 4.1.
Variante. Supposons donné un système de fonctions B comme en 1.10. En remplaçant les intégrales I
˜
G
˜
M
(γ, f ) par leurs variantes I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ) dans les constructions
précédentes, on définit les variantes S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) des intégrales orbitales pondérées
stables. Elles vérifient des propriétés analogues aux précédentes.
VI.4.3 Une propriété de support
Les hypothèses sont les mêmes que dans le paragraphe précédent mais on suppose
que V contient V ram .
Lemme. Soit Ξ ⊂ A ˜
M un ensemble compact et soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V ))⊗Mes(G(F V )).
Alors il existe un sous-ensemble compact ˜
C V de ˜
M (F V ) tel que, pour tout δ ∈
D
st
( ˜
M (F V )) ⊗ Mes(M (F V ))
∗ vérifiant les deux conditions :
– l’image par ˜
H ˜
MV du support de δ est contenu dans Ξ,
– S
˜
G
˜
M
(δ, f ) = 0,
il existe un élément du support de δ qui soit conjugué à un élément de ˜
C V par un
élément de M (F V ).
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se décompose en le produit de
Z( ˆ
M )
ΓF
Z( ˆ
G) ΓF
→
Z( ˆ
M )
ΓF
Z( ˆ
L 1 ) ΓF
⊕
Z( ˆ
M )
ΓF
Z( ˆ
L 2 ) ΓF
et de
Z( ˆ
M )
ΓF
Z( ˆ
L 1 ) ΓF
⊕
Z( ˆ
M )
ΓF
Z( ˆ
L 2 ) ΓF
→
⊕ v∈V1
Z( ˆ
M v )
ΓF v
Z( ˆ
L v ) ΓF v
⊕
⊕ v∈V2
Z( ˆ
M v )
ΓF v
Z( ˆ
L v ) ΓF v
.
Tous ces homomorphismes sont surjectifs. Donc le nombre d’éléments k
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V )
du noyau du composé est le produit des nombres d’éléments des noyaux des deux
homomorphismes ci-dessus. Ceux-ci sont respectivement
k
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) et k
˜
L1
˜
MV 1
( ˜
M , ˜
L
V1 )k
˜
L2
˜
MV 2
( ˜
M , ˜
L
V2 ).
Cela prouve (9) et achève la preuve de l’implication (ii) + (iii) implique (i).
En fait, on a prouvé que, si on admettait (i) pour les facteurs du membre
de droite de (ii), alors ce membre de droite était égal à celui de (i). Mais cela
démontre que (i) implique (ii). De plus, (iii) n’est que (i) dans le cas particulier
où V n’a qu’un élément. Donc (i) implique (ii) + (iii).
Le (i) de cette proposition ramène la preuve des propriétés requises de la
forme bilinéaire (δ, f ) → S
˜
G
˜
M
(δ, f ) à celle des mêmes propriétés pour ses avatars
locaux. En ce qui concerne les propriétés formelles, on a fait cette preuve en [II]
1.10. La propriété de stabilité a été prouvée en [III] 2.8 dans le cas non-archimédien,
en [V] 1.5 et section 4 dans le cas archimédien. Cela prouve le théorème 4.1.
Variante. Supposons donné un système de fonctions B comme en 1.10. En remplaçant les intégrales I
˜
G
˜
M
(γ, f ) par leurs variantes I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ) dans les constructions
précédentes, on définit les variantes S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) des intégrales orbitales pondérées
stables. Elles vérifient des propriétés analogues aux précédentes.
VI.4.3 Une propriété de support
Les hypothèses sont les mêmes que dans le paragraphe précédent mais on suppose
que V contient V ram .
Lemme. Soit Ξ ⊂ A ˜
M un ensemble compact et soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V ))⊗Mes(G(F V )).
Alors il existe un sous-ensemble compact ˜
C V de ˜
M (F V ) tel que, pour tout δ ∈
D
st
( ˜
M (F V )) ⊗ Mes(M (F V ))
∗ vérifiant les deux conditions :
– l’image par ˜
H ˜
MV du support de δ est contenu dans Ξ,
– S
˜
G
˜
M
(δ, f ) = 0,
il existe un élément du support de δ qui soit conjugué à un élément de ˜
C V par un
élément de M (F V ).