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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
L’égalité (8) et son analogue pour ˜
L 2 entraînent que
A ˜
L1 ∩ A ˜
L2 = A ˜
M ∩ (∩ v∈V A ˜
Lv ).
Mais cette intersection est réduite à A ˜
G en vertu de l’hypothèse d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V ) = 0.
Donc les espaces A
˜
G
˜
L1
et A
˜
G
˜
L2
sont en somme directe. En prenant les orthogonaux,
on obtient l’égalité
A
˜
G
˜
M
= A
˜
L1
˜
M
+ A
˜
L2
˜
M
.
L’inégalité de dimensions prouvée ci-dessus entraîne que la somme de droite est
directe. D’où d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) = 0. D’où aussi : cette inégalité de dimensions est une
égalité. En reprenant le raisonnement conduisant à cette inégalité, on voit que
l’égalité (3) est vérifiée. En la projetant sur ⊕ v∈Vi A
˜
Li
˜
M
, on obtient
Δ Vi (A
˜
Li
˜
M
) ⊕ A
˜
Li
˜
L V i
= A
˜
Li
˜
MV i
.
Cela signifie que d
˜
Li
˜
MV i
( ˜
M , ˜
L
Vi ) = 0 pour i = 1, 2. Cela prouve (7).
Grâce à (2) et (7), on obtient
E
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V ) =
⎧
⎨
⎩
0,
si d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V ) = 0,
e
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 )e
˜
L1
˜
MV 1
( ˜
M , ˜
L
V1 )e
˜
L2
˜
MV 2
( ˜
M, ˜
L
V2 ), si d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V ) = 0,
où ( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) est le couple déterminé par (7). Pour prouver (1), on peut supposer
d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V ) = 0 et il faut prouver l’égalité
e
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V ) = e
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 )e
˜
L1
˜
MV 1
( ˜
M , ˜
L
V1 )e
˜
L2
˜
MV 2
( ˜
M , ˜
L
V2 ).
Elle se décompose en les deux égalités
d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V ) = d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 )d
˜
L1
˜
MV 1
( ˜
M , ˜
L
V1 )d
˜
L2
˜
MV 2
( ˜
M , ˜
L
V2 ),
et
(9)
k
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V ) = k
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 )k
˜
L1
˜
MV 1
( ˜
M , ˜
L
V1 )k
˜
L2
˜
MV 2
( ˜
M , ˜
L
V2 ).
La première se prouve en reprenant les démonstrations de (2) et (7) et en précisant
comment se comportent les mesures selon les différentes décompositions en somme
directe. On laisse les détails fastidieux au lecteur. Prouvons (9). L’homomorphisme
Z( ˆ
M )
ΓF
Z( ˆ
G) ΓF
→ ⊕ v∈V
Z( ˆ
M v )
ΓF v
Z( ˆ
L v ) ΓF v