VI.4. Intégrales orbitales pondérées et endoscopie
681
Le membre de droite appartient au membre de droite de (4), ce qui prouve cette
assertion.
L’espace A
˜
G
˜
L V contient Δ V1 (A
˜
G
˜
L1
) ⊕ Δ V2 (A
˜
G
˜
L2
). Grâce à (3) et (4), on obtient
l’inclusion
(5)
A
˜
G
˜
MV
= Δ V1 (A
˜
L1
˜
M
) ⊕ Δ V2 (A
˜
L2
˜
M
) ⊕ A
˜
G
˜
L V ⊂ Δ V (A
˜
G
˜
M
) + A
˜
G
˜
L V .
La somme des dimensions est la même des deux côtés. En effet, Δ V (A
˜
G
˜
M
) a même
dimension que A
˜
G
˜
M
et, pour i = 1, 2, Δ Vi (A
˜
Li
˜
M
) a même dimension que A
˜
Li
˜
M
. Or
l’hypothèse d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) = 0 entraîne que A
˜
G
˜
M
= A
˜
L1
˜
M
⊕A
˜
L2
˜
M
. Cela implique l’égalité
voulue des dimensions. Mais celle-ci implique que les espaces du membre de droite
de (5) sont en somme directe et que l’inclusion est une égalité, c’est-à-dire
(6)
Δ V (A
˜
G
˜
M
) ⊕ A
˜
G
˜
L V = A
˜
G
˜
MV
.
Cela signifie que la conclusion de (2) est vérifiée.
Inversement, on a
(7) si d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V ) = 0, alors il existe un unique couple ( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) vérifiant les
hypothèses de (2).
Montrons d’abord l’unicité. La condition ˜
L
V1
∈ L
˜
L1 ( ˜
M V1 ) signifie que A ˜
L1 ⊂
A ˜
Lv pour tout v ∈ V 1 . La condition d
˜
L1
˜
MV 1
( ˜
M , ˜
L
V1 ) = 0 entraîne
A
˜
L1
˜
M
∩ (∩ v∈V1 A
˜
L1
˜
Lv
) = {0}.
Leur conjonction conduit à l’égalité
(8)
A ˜
L1 = A ˜
M ∩ (∩ v∈V1 A ˜
Lv ).
D’où l’unicité de ˜
L 1 et de même celle de ˜
L 2 . Inversement, notons B l’intersection de
droite ci-dessus, soit T le sous-tore défini sur F de A ˜
M tel que X ∗ (T ) = X ∗ (A ˜
M ) ∩
B. Soit ˜
L 1 le commutant de T dans ˜
G. Il contient ˜
M et les ˜
L v pour v ∈ V 1 . A
fortiori, il est non vide et c’est donc un espace de Levi. Les inclusions ci-dessus
entraînent que A ˜
L1 est contenu dans B. Mais il contient par définition X ∗ (T ) qui
engendre B. Il est donc égal à B. Cela prouve l’existence d’un espace de Levi ˜
L 1
vérifiant (8). On définit de même l’espace ˜
L 2 . On va montrer que le couple ( ˜
L 1 , ˜
L 2 )
vérifie les hypothèses de (2). La définition de ces espaces n’entraîne pas l’égalité
(3), mais elle entraîne que les espaces du membre de gauche de cette égalité sont
en somme directe. L’hypothèse d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V ) = 0 entraîne l’égalité (6). On déduit
de ces deux faits l’inégalité
dim(A
˜
G
˜
M
) ≥ dim(A
˜
L1
˜
M
) + dim(A
˜
L2
˜
M
).
681
Le membre de droite appartient au membre de droite de (4), ce qui prouve cette
assertion.
L’espace A
˜
G
˜
L V contient Δ V1 (A
˜
G
˜
L1
) ⊕ Δ V2 (A
˜
G
˜
L2
). Grâce à (3) et (4), on obtient
l’inclusion
(5)
A
˜
G
˜
MV
= Δ V1 (A
˜
L1
˜
M
) ⊕ Δ V2 (A
˜
L2
˜
M
) ⊕ A
˜
G
˜
L V ⊂ Δ V (A
˜
G
˜
M
) + A
˜
G
˜
L V .
La somme des dimensions est la même des deux côtés. En effet, Δ V (A
˜
G
˜
M
) a même
dimension que A
˜
G
˜
M
et, pour i = 1, 2, Δ Vi (A
˜
Li
˜
M
) a même dimension que A
˜
Li
˜
M
. Or
l’hypothèse d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) = 0 entraîne que A
˜
G
˜
M
= A
˜
L1
˜
M
⊕A
˜
L2
˜
M
. Cela implique l’égalité
voulue des dimensions. Mais celle-ci implique que les espaces du membre de droite
de (5) sont en somme directe et que l’inclusion est une égalité, c’est-à-dire
(6)
Δ V (A
˜
G
˜
M
) ⊕ A
˜
G
˜
L V = A
˜
G
˜
MV
.
Cela signifie que la conclusion de (2) est vérifiée.
Inversement, on a
(7) si d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V ) = 0, alors il existe un unique couple ( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) vérifiant les
hypothèses de (2).
Montrons d’abord l’unicité. La condition ˜
L
V1
∈ L
˜
L1 ( ˜
M V1 ) signifie que A ˜
L1 ⊂
A ˜
Lv pour tout v ∈ V 1 . La condition d
˜
L1
˜
MV 1
( ˜
M , ˜
L
V1 ) = 0 entraîne
A
˜
L1
˜
M
∩ (∩ v∈V1 A
˜
L1
˜
Lv
) = {0}.
Leur conjonction conduit à l’égalité
(8)
A ˜
L1 = A ˜
M ∩ (∩ v∈V1 A ˜
Lv ).
D’où l’unicité de ˜
L 1 et de même celle de ˜
L 2 . Inversement, notons B l’intersection de
droite ci-dessus, soit T le sous-tore défini sur F de A ˜
M tel que X ∗ (T ) = X ∗ (A ˜
M ) ∩
B. Soit ˜
L 1 le commutant de T dans ˜
G. Il contient ˜
M et les ˜
L v pour v ∈ V 1 . A
fortiori, il est non vide et c’est donc un espace de Levi. Les inclusions ci-dessus
entraînent que A ˜
L1 est contenu dans B. Mais il contient par définition X ∗ (T ) qui
engendre B. Il est donc égal à B. Cela prouve l’existence d’un espace de Levi ˜
L 1
vérifiant (8). On définit de même l’espace ˜
L 2 . On va montrer que le couple ( ˜
L 1 , ˜
L 2 )
vérifie les hypothèses de (2). La définition de ces espaces n’entraîne pas l’égalité
(3), mais elle entraîne que les espaces du membre de gauche de cette égalité sont
en somme directe. L’hypothèse d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V ) = 0 entraîne l’égalité (6). On déduit
de ces deux faits l’inégalité
dim(A
˜
G
˜
M
) ≥ dim(A
˜
L1
˜
M
) + dim(A
˜
L2
˜
M
).