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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
où
E
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V ) =
˜
L1, ˜
L2∈L( ˜
M ),
˜
L
V ∈L
˜
L 1 , ˜
L 2 ( ˜
MV )
e
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 )e
˜
L1
˜
MV 1
( ˜
M , ˜
L
V1 )e
˜
L2
˜
MV 2
( ˜
M, ˜
L
V2 ).
Pour obtenir (i), il reste à prouver que, pour ˜
L
V
∈ L( ˜
M V ), on a
(1)
E
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V ) = e
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V ).
On montre que
(2) s’il existe ˜
L 1 , ˜
L 2 ∈ L( ˜
M ) tels que ˜
L
V
∈ L
˜
L1, ˜
L2 ( ˜
M V ) et
d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 )d
˜
L1
˜
MV 1
( ˜
M , ˜
L
V1 )d
˜
L2
˜
MV 2
( ˜
M , ˜
L
V2 ) = 0,
alors d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V ) = 0.
L’hypothèse d
˜
L1
˜
MV 1
( ˜
M, ˜
L
V1 ) = 0 signifie que
Δ V1 (A
˜
L1
˜
M
) ⊕ A
˜
L1
˜
L V 1
= A
˜
L1
˜
MV 1
,
où on utilise les notations de 1.4. En ajoutant l’espace ⊕ v∈V1 A
˜
G
˜
L1
, qui est en somme
directe avec les précédents, on obtient
Δ V1 (A
˜
L1
˜
M
) ⊕ A
˜
G
˜
L V 1 = A
˜
G
˜
MV 1
.
De même en remplaçant les indices 1 par 2. En sommant les égalités obtenues, on
obtient
(3)
Δ V1 (A
˜
L1
˜
M
) ⊕ Δ V2 (A
˜
L2
˜
M
) ⊕ A
˜
G
˜
L V = A
˜
G
˜
MV
.
Montrons que l’on a l’inclusion
(4)
Δ V1 (A
˜
L1
˜
M
) ⊕ Δ V2 (A
˜
L2
˜
M
) ⊂ Δ V (A
˜
G
˜
M
) + (Δ V1 (A
˜
G
˜
L1
) ⊕ Δ V2 (A
˜
G
˜
L2
)).
L’hypothèse d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) = 0 entraîne que l’application linéaire somme des projections orthogonales
A
˜
G
˜
M
→ A
˜
L1
˜
M
⊕ A
˜
L2
˜
M
H → (H
˜
L1 , H
˜
L2 )
est bijective. Pour i = 1, 2, soit H i ∈ A
˜
Li
˜
M
. On introduit l’image réciproque H de
(H 1 , H 2 ) par l’application précédente. Alors
Δ V1 (H 1 ) + Δ V2 (H 2 ) = Δ V (H) − Δ V1 (H ˜
L1 ) − Δ V2 (H ˜
L2 ).