VI.4. Intégrales orbitales pondérées et endoscopie
679
(i) On a l’égalité
S
˜
G
˜
M
(δ, f ) =
˜
L V ∈L( ˜
MV )
e
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V )
v∈V
S
˜
L
v
˜
Mv
(δ v , f v, ˜
L v ).
(ii) Supposons V réunion disjointe de V 1 et V 2 . Pour i = 1, 2, posons δ i =
⊗ v∈Vi δ v et f i = ⊗ v∈Vi f v . Alors
S
˜
G
˜
M
(δ, f ) =
˜
L1, ˜
L2∈L( ˜
M )
e
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 )S
˜
L1
˜
M
(δ 1 , f 1, ˜
L1 )S
˜
L2
˜
M
(δ 2 , f 2, ˜
L2 ).
(iii) Supposons V réduit à une place v. Alors
S
˜
G
˜
M
(δ, f ) =
˜
L v ∈L( ˜
Mv)
e
˜
G
˜
Mv
( ˜
M , ˜
L
v )S
˜
L
v
˜
Mv
(δ, f ˜
L v ).
Preuve. On ne démontre pas cette proposition car nous ferons une démonstration
analogue au paragraphe 4.4, dans une situation plus générale. On va simplement
montrer ici que (i) est équivalente à la réunion des deux assertions (ii) et (iii).
On va commencer par l’implication (ii)+(iii) implique (i).On raisonne par récurrence sur le nombre d’éléments de V . Si V est réduit à une place v, l’assertion
(i) est identique à (iii). Si V a au moins deux éléments, on décompose V en union
disjointe V 1 V 2 de deux sous-ensembles non vides, donc de nombres d’éléments
strictement inférieurs à celui de V . On applique (ii). Pour i = 1, 2, on applique
(i) par récurrence aux termes S
˜
Li
˜
M
(δ i , f i, ˜
Li ) qui interviennent. Il apparaît des ensembles de sommation L
˜
Li ( ˜
M Vi ) ⊂ L( ˜
M Vi ). L’ensemble L( ˜
M V ) est le produit de
L( ˜
M V1 ) et de L( ˜
M V2 ). On pose
L
˜
L1, ˜
L2 ( ˜
M V ) = L
˜
L1 ( ˜
M V1 ) × L
˜
L2 ( ˜
M V2 ).
Un produit pour i = 1, 2 de sommes sur L
˜
Li ( ˜
M Vi ) est donc une somme sur
L
˜
L1, ˜
L2 ( ˜
M V ). D’où
S
˜
L1
˜
M
(δ 1 , f 1, ˜
L1 )S
˜
L2
˜
M
(δ 2 , f 2, ˜
L2 )
=
˜
L V ∈L
˜
L 1 , ˜
L 2 ( ˜
MV )
e
˜
L1
˜
MV 1
( ˜
M , ˜
L
V1 )e
˜
L2
˜
MV 2
( ˜
M , ˜
L
V2 )
v∈V
S
˜
L
v
˜
Mv
(δ v , f v, ˜
L v )
(on a noté ˜
L
Vi pour i = 1, 2 les deux composantes de ˜
L
V ). En inversant les sommes
en ˜
L 1 , ˜
L 2 et en ˜
L
V , on obtient
S
˜
G
˜
M
(δ, f ) =
˜
L V ∈L( ˜
MV )
E
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V )
v∈V
S
˜
L
v
˜
Mv
(δ v , f v, ˜
L v ),
679
(i) On a l’égalité
S
˜
G
˜
M
(δ, f ) =
˜
L V ∈L( ˜
MV )
e
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V )
v∈V
S
˜
L
v
˜
Mv
(δ v , f v, ˜
L v ).
(ii) Supposons V réunion disjointe de V 1 et V 2 . Pour i = 1, 2, posons δ i =
⊗ v∈Vi δ v et f i = ⊗ v∈Vi f v . Alors
S
˜
G
˜
M
(δ, f ) =
˜
L1, ˜
L2∈L( ˜
M )
e
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 )S
˜
L1
˜
M
(δ 1 , f 1, ˜
L1 )S
˜
L2
˜
M
(δ 2 , f 2, ˜
L2 ).
(iii) Supposons V réduit à une place v. Alors
S
˜
G
˜
M
(δ, f ) =
˜
L v ∈L( ˜
Mv)
e
˜
G
˜
Mv
( ˜
M , ˜
L
v )S
˜
L
v
˜
Mv
(δ, f ˜
L v ).
Preuve. On ne démontre pas cette proposition car nous ferons une démonstration
analogue au paragraphe 4.4, dans une situation plus générale. On va simplement
montrer ici que (i) est équivalente à la réunion des deux assertions (ii) et (iii).
On va commencer par l’implication (ii)+(iii) implique (i).On raisonne par récurrence sur le nombre d’éléments de V . Si V est réduit à une place v, l’assertion
(i) est identique à (iii). Si V a au moins deux éléments, on décompose V en union
disjointe V 1 V 2 de deux sous-ensembles non vides, donc de nombres d’éléments
strictement inférieurs à celui de V . On applique (ii). Pour i = 1, 2, on applique
(i) par récurrence aux termes S
˜
Li
˜
M
(δ i , f i, ˜
Li ) qui interviennent. Il apparaît des ensembles de sommation L
˜
Li ( ˜
M Vi ) ⊂ L( ˜
M Vi ). L’ensemble L( ˜
M V ) est le produit de
L( ˜
M V1 ) et de L( ˜
M V2 ). On pose
L
˜
L1, ˜
L2 ( ˜
M V ) = L
˜
L1 ( ˜
M V1 ) × L
˜
L2 ( ˜
M V2 ).
Un produit pour i = 1, 2 de sommes sur L
˜
Li ( ˜
M Vi ) est donc une somme sur
L
˜
L1, ˜
L2 ( ˜
M V ). D’où
S
˜
L1
˜
M
(δ 1 , f 1, ˜
L1 )S
˜
L2
˜
M
(δ 2 , f 2, ˜
L2 )
=
˜
L V ∈L
˜
L 1 , ˜
L 2 ( ˜
MV )
e
˜
L1
˜
MV 1
( ˜
M , ˜
L
V1 )e
˜
L2
˜
MV 2
( ˜
M , ˜
L
V2 )
v∈V
S
˜
L
v
˜
Mv
(δ v , f v, ˜
L v )
(on a noté ˜
L
Vi pour i = 1, 2 les deux composantes de ˜
L
V ). En inversant les sommes
en ˜
L 1 , ˜
L 2 et en ˜
L
V , on obtient
S
˜
G
˜
M
(δ, f ) =
˜
L V ∈L( ˜
MV )
E
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V )
v∈V
S
˜
L
v
˜
Mv
(δ v , f v, ˜
L v ),