678
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
extensions ˜
G 1 , ˜
G 2 de ˜
G et pour une fonction de recollement ˜
λ 12,V comme dans ce
paragraphe, les deux définitions de la forme bilinéaire se recollent. Admettons cela
par récurrence pour les couples (G
, ˜
G
) comme ci-dessus. Soit s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF . On
définit la donnée endoscopique G
(s) comme dans le cas local (cf. [I] 3.3), dont la
donnée endoscopique maximale M est une «donnée de Levi». Pour s ∈ Z( ˆ
G)
ΓF ,
on a dim(G
(s) SC ) < dim(G SC ) et les propriétés formelles ci-dessus permettent
de définir S
G
(s)
M
(δ, f ) pour δ ∈ D
st
(M V ) ⊗ Mes(M (F V ))
∗ et f ∈ SI(G
(s) V ) ⊗
Mes(G
(F V )). On définit d’autre part
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s)) =
[Z( ˆ
G
(s))
ΓF : Z( ˆ
G)
ΓF ]
−1 , si G
(s) est elliptique,
0,
sinon.
On peut alors poser la définition
S
˜
G
˜
M
(δ, f ) = I
˜
G
˜
M
(δ, f ) −
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))S
G
(s)
M
(δ, f
G
(s) ).
Il est clair que cette forme est invariante en f , c’est-à-dire ne dépend que de
l’image de f dans I( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )).
VI.4.2 Formules de décomposition
La situation est la même que dans le paragraphe précédent. Le lien entre la forme
bilinéaire qu’on y a définie et ses avatars locaux définis en [II] 1.10 et [V] 1.4 et
2.4 est donné par la proposition suivante. Soient deux espaces de Levi ˜
L 1 , ˜
L 2 ∈
L( ˜
M ) tels que d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) = 0. Alors A
G
L1 ∩ A
G
L2 = {0}. Cette condition entraîne
dualement que l’homomorphisme
Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF
→ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
L 1 )
ΓF
⊕ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
L 2 )
ΓF
est surjectif et de noyau fini. On note k
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) le nombre d’éléments de ce noyau
et on pose e
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) = d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 )k
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 )
−1 . Si au contraire d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) = 0,
on pose e
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) = 0. Soit ˜
L
V = ( ˜
L
v ) v∈V ∈ L( ˜
M V ) tel que d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V ) = 0.
Cette condition entraîne encore que l’homomorphisme
Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF
→ ⊕ v∈V Z( ˆ
M v )
ΓF v /Z( ˆ
L
v )
ΓF v
est surjectif et de noyau fini. On note k
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V ) le nombre d’éléments de ce
noyau et on pose e
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V ) = d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V )k
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V )
−1 . Si au contraire
d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V ) = 0, on pose e
˜
G
˜
MV
( ˜
M, ˜
L
V ) = 0.
Proposition. Soient δ = ⊗ v∈V δ v ∈ D
st
( ˜
M (F V ))⊗ Mes(M (F V ))
∗ et f = ⊗ v∈V f v ∈
C
∞
c ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )).
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
extensions ˜
G 1 , ˜
G 2 de ˜
G et pour une fonction de recollement ˜
λ 12,V comme dans ce
paragraphe, les deux définitions de la forme bilinéaire se recollent. Admettons cela
par récurrence pour les couples (G
, ˜
G
) comme ci-dessus. Soit s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF . On
définit la donnée endoscopique G
(s) comme dans le cas local (cf. [I] 3.3), dont la
donnée endoscopique maximale M est une «donnée de Levi». Pour s ∈ Z( ˆ
G)
ΓF ,
on a dim(G
(s) SC ) < dim(G SC ) et les propriétés formelles ci-dessus permettent
de définir S
G
(s)
M
(δ, f ) pour δ ∈ D
st
(M V ) ⊗ Mes(M (F V ))
∗ et f ∈ SI(G
(s) V ) ⊗
Mes(G
(F V )). On définit d’autre part
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s)) =
[Z( ˆ
G
(s))
ΓF : Z( ˆ
G)
ΓF ]
−1 , si G
(s) est elliptique,
0,
sinon.
On peut alors poser la définition
S
˜
G
˜
M
(δ, f ) = I
˜
G
˜
M
(δ, f ) −
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))S
G
(s)
M
(δ, f
G
(s) ).
Il est clair que cette forme est invariante en f , c’est-à-dire ne dépend que de
l’image de f dans I( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )).
VI.4.2 Formules de décomposition
La situation est la même que dans le paragraphe précédent. Le lien entre la forme
bilinéaire qu’on y a définie et ses avatars locaux définis en [II] 1.10 et [V] 1.4 et
2.4 est donné par la proposition suivante. Soient deux espaces de Levi ˜
L 1 , ˜
L 2 ∈
L( ˜
M ) tels que d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) = 0. Alors A
G
L1 ∩ A
G
L2 = {0}. Cette condition entraîne
dualement que l’homomorphisme
Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF
→ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
L 1 )
ΓF
⊕ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
L 2 )
ΓF
est surjectif et de noyau fini. On note k
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) le nombre d’éléments de ce noyau
et on pose e
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) = d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 )k
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 )
−1 . Si au contraire d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) = 0,
on pose e
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) = 0. Soit ˜
L
V = ( ˜
L
v ) v∈V ∈ L( ˜
M V ) tel que d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V ) = 0.
Cette condition entraîne encore que l’homomorphisme
Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF
→ ⊕ v∈V Z( ˆ
M v )
ΓF v /Z( ˆ
L
v )
ΓF v
est surjectif et de noyau fini. On note k
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V ) le nombre d’éléments de ce
noyau et on pose e
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V ) = d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V )k
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V )
−1 . Si au contraire
d
˜
G
˜
MV
( ˜
M , ˜
L
V ) = 0, on pose e
˜
G
˜
MV
( ˜
M, ˜
L
V ) = 0.
Proposition. Soient δ = ⊗ v∈V δ v ∈ D
st
( ˜
M (F V ))⊗ Mes(M (F V ))
∗ et f = ⊗ v∈V f v ∈
C
∞
c ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )).