VI.4. Intégrales orbitales pondérées et endoscopie
677
et ˜
φ
H
p,q ◦ σ( ˜
φ
H
p,q )
−1 = ad ∇p,q(σ) pour tout σ ∈ Γ F . On a alors des plongements
G q → H q et ˜
G q → ˜
H q définis sur F de sorte que les diagrammes suivants soient
commutatifs
G p
→
H p
˜
G p
→
˜
H p
↑ φ p,q
↑ φ
H
p,q
↑ ˜
φ p,q
↑ ˜
φ
H
p,q
G q
→
H q
˜
G q
→
˜
H q .
La collection ( ˜
H q ) q∈Π n’a pas de raison d’être un K-espace au sens de 1.16 car
les applications H
1 (F ; G q ) → H
1 (F ; H q ) ne sont pas bijectives en général. Mais
les conditions précises imposées en 1.16 ne servent qu’aux formules d’inversion
de [I] 4.9. Elles ne sont pas nécessaires pour définir les facteurs de transfert de
la même façon que ci-dessus. Par abus de notations, on notera encore K ˜
H la
collection ( ˜
H q ) q∈Π . Alors, comme en 3.9, on définit les facteurs de transfert pour
cette collection puis on les restreint au K-espace de départ K ˜
G. On obtient les
mêmes conséquences qu’en 3.9.
VI.4 Intégrales orbitales pondérées et endoscopie
VI.4.1 Intégrales orbitales pondérées invariantes stables
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) et soit
V un ensemble fini de places. Posons
D
st
( ˜
M (F V )) = D
st
g´ eom, ˜
G -équi
( ˜
M (F V )) + D
st
tr-orb ( ˜
M (F V )) ⊂ D
st
g´ eom ( ˜
M (F V )).
On va définir une forme bilinéaire
(δ, f ) → S
˜
G
˜
M
(δ, f )
sur le produit
D
st
( ˜
M (F V )) ⊗ Mes(M (F V ))
∗
×
C
∞
c ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V ))
.
Le théorème qui suit énonce une de ses propriétés clés. On le prouvera au
paragraphe suivant.
Théorème. Pour tout δ ∈ D
st
( ˜
M (F V )) ⊗ Mes(M (F V ))
∗ , la distribution f →
S
˜
G
˜
M
(δ, f ) est stable, c’est-à-dire se factorise par la projection de C
∞
c ( ˜
G(F V )) ⊗
Mes(G(F V )) dans SI( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )).
Conformément à nos hypothèses de récurrence, on admet cette propriété
pour les couples (G
, ˜
G
) vérifiant les mêmes hypothèses que (G, ˜
G) et tels que
dim(G
SC ) < dim(G SC ).
Supposons définie notre forme bilinéaire. On doit étendre la définition à la
situation «avec caractère central» de 1.15. On doit aussi montrer que, pour deux
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et ˜
φ
H
p,q ◦ σ( ˜
φ
H
p,q )
−1 = ad ∇p,q(σ) pour tout σ ∈ Γ F . On a alors des plongements
G q → H q et ˜
G q → ˜
H q définis sur F de sorte que les diagrammes suivants soient
commutatifs
G p
→
H p
˜
G p
→
˜
H p
↑ φ p,q
↑ φ
H
p,q
↑ ˜
φ p,q
↑ ˜
φ
H
p,q
G q
→
H q
˜
G q
→
˜
H q .
La collection ( ˜
H q ) q∈Π n’a pas de raison d’être un K-espace au sens de 1.16 car
les applications H
1 (F ; G q ) → H
1 (F ; H q ) ne sont pas bijectives en général. Mais
les conditions précises imposées en 1.16 ne servent qu’aux formules d’inversion
de [I] 4.9. Elles ne sont pas nécessaires pour définir les facteurs de transfert de
la même façon que ci-dessus. Par abus de notations, on notera encore K ˜
H la
collection ( ˜
H q ) q∈Π . Alors, comme en 3.9, on définit les facteurs de transfert pour
cette collection puis on les restreint au K-espace de départ K ˜
G. On obtient les
mêmes conséquences qu’en 3.9.
VI.4 Intégrales orbitales pondérées et endoscopie
VI.4.1 Intégrales orbitales pondérées invariantes stables
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) et soit
V un ensemble fini de places. Posons
D
st
( ˜
M (F V )) = D
st
g´ eom, ˜
G -équi
( ˜
M (F V )) + D
st
tr-orb ( ˜
M (F V )) ⊂ D
st
g´ eom ( ˜
M (F V )).
On va définir une forme bilinéaire
(δ, f ) → S
˜
G
˜
M
(δ, f )
sur le produit
D
st
( ˜
M (F V )) ⊗ Mes(M (F V ))
∗
×
C
∞
c ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V ))
.
Le théorème qui suit énonce une de ses propriétés clés. On le prouvera au
paragraphe suivant.
Théorème. Pour tout δ ∈ D
st
( ˜
M (F V )) ⊗ Mes(M (F V ))
∗ , la distribution f →
S
˜
G
˜
M
(δ, f ) est stable, c’est-à-dire se factorise par la projection de C
∞
c ( ˜
G(F V )) ⊗
Mes(G(F V )) dans SI( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )).
Conformément à nos hypothèses de récurrence, on admet cette propriété
pour les couples (G
, ˜
G
) vérifiant les mêmes hypothèses que (G, ˜
G) et tels que
dim(G
SC ) < dim(G SC ).
Supposons définie notre forme bilinéaire. On doit étendre la définition à la
situation «avec caractère central» de 1.15. On doit aussi montrer que, pour deux