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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
VI.3.10 Adaptation aux K-espaces
Considérons un K-espace comme en 1.16. Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique relevante de ce K-espace. On fixe un ensemble fini V de places contenant
V ram et des données auxiliaires non ramifiées hors de V .
Soit v une place de F . Le bifacteur Δ 1,v s’étend à tout le K-espace, c’est-àdire que l’on peut définir des termes Δ 1,v (δ 1 , γ; δ 1 , γ) pour deux couples (δ 1 , γ),
(δ 1 , γ) se correspondant, avec γ ∈ ˜
G p (F v ) et γ ∈ ˜
G p (F v ). La définition est la même
qu’en [I] 2.3. Avec les définitions de 1.16, on a les égalités
Δ 1,v (δ 1 , γ; δ 1 , γ) = Δ 1,v (δ 1 , ˜
φ
p ,p (γ); δ 1 , ˜
φ
p ,p (γ)), si v est finie ou complexe ;
Δ 1,v (δ 1 , γ; δ 1 , γ) = ω(h p h
−1
p )Δ 1,v (δ 1 , ˜
φ
p ,p (γ); δ 1 , ˜
φ
p ,p (γ)) si v est réelle.
Considérons les deux hypothèses
Hyp
. Il existe un sous-tore maximal T
de F , défini sur F , de sorte que, pour
toute place v de F , il existe p v ∈ Π et un couple (δ v , γ v ) ∈ D(G
v ) avec
δ v ∈ ˜
T
(F v ) et γ v ∈ ˜
G pv (F v ) ;
Hyp
. Il existe un sous-tore maximal T
de F , défini sur F , et un élément p ∈ Π
de sorte que, pour toute place v de F , il existe un couple (δ v , γ v ) ∈ D(G
v )
avec δ v ∈ ˜
T
(F v ) et γ v ∈ ˜
G p (F v ).
Elles sont équivalentes. En effet, la seconde implique évidemment la première. Supposons Hyp
vérifiée. Pour toute place réelle, fixons p v vérifiant cette
hypothèse. D’après le lemme 1.16, il existe p ∈ Π, d’ailleurs unique, tel que p soit
v-équivalent à p v pour toute place v réelle. On voit alors que cet p vérifie Hyp
.
Supposons ces hypothèses vérifiées. On fixe T
et p vérifiant Hyp
. Appliquant la construction de 3.6 à la composante ˜
G p , on construit un couple (δ 1 , γ)
avec γ ∈ ˜
G p (A F ) et un terme Δ(δ 1 , γ). Si on remplace les données T
, p, δ 1 et γ
par d’autres données T
, p, δ 1 et γ, la proposition 3.6(ii) est encore vérifiée, les
bifacteurs étant étendus comme ci-dessus au K-espace. La seule modification à
faire à la démonstration est la suivante : en 3.6, on a fixé r ∈ G SC ( ¯
F ) tel que
ad r (E
∗ ) = E
∗ et on a posé u E ∗ (σ) = ru E ∗ (σ)σ(r)
−1 ; il faut maintenant fixer
r ∈ G p,SC ( ¯
F ) tel que ad r ◦φ p,p (E
∗ ) = E
∗ et poser
u E ∗ (σ) = rφ p,p (u E ∗ (σ))∇ p,p (σ)σ(r)
−1 .
Cette construction une fois faite, le reste des paragraphes 3.6 et 3.7 s’adapte
sans changement aux K-espaces.
Les paragraphes 3.8 et 3.9 s’adaptent aussi de la façon suivante. Fixons p ∈ Π
et effectuons les constructions de 3.8 pour la composante G p . On construit donc
un groupe H p et un espace ˜
H p comme en 3.8 relatif à G p et ˜
G p . Pour q ∈ Π, on
introduit un groupe H q et un espace ˜
H q : sur ¯
F , ils sont égaux à H p et ˜
H p ; on
notant les identités φ
H
p,q : H q → H p et ˜
φ
H
p,q : ˜
H q → ˜
H p , on définit les actions galoisiennes sur H q et ˜
H q de sorte que l’on ait les égalités φ
H
p,q ◦ σ(φ
H
p,q )
−1 = ad ∇p,q (σ)
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
VI.3.10 Adaptation aux K-espaces
Considérons un K-espace comme en 1.16. Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique relevante de ce K-espace. On fixe un ensemble fini V de places contenant
V ram et des données auxiliaires non ramifiées hors de V .
Soit v une place de F . Le bifacteur Δ 1,v s’étend à tout le K-espace, c’est-àdire que l’on peut définir des termes Δ 1,v (δ 1 , γ; δ 1 , γ) pour deux couples (δ 1 , γ),
(δ 1 , γ) se correspondant, avec γ ∈ ˜
G p (F v ) et γ ∈ ˜
G p (F v ). La définition est la même
qu’en [I] 2.3. Avec les définitions de 1.16, on a les égalités
Δ 1,v (δ 1 , γ; δ 1 , γ) = Δ 1,v (δ 1 , ˜
φ
p ,p (γ); δ 1 , ˜
φ
p ,p (γ)), si v est finie ou complexe ;
Δ 1,v (δ 1 , γ; δ 1 , γ) = ω(h p h
−1
p )Δ 1,v (δ 1 , ˜
φ
p ,p (γ); δ 1 , ˜
φ
p ,p (γ)) si v est réelle.
Considérons les deux hypothèses
Hyp
. Il existe un sous-tore maximal T
de F , défini sur F , de sorte que, pour
toute place v de F , il existe p v ∈ Π et un couple (δ v , γ v ) ∈ D(G
v ) avec
δ v ∈ ˜
T
(F v ) et γ v ∈ ˜
G pv (F v ) ;
Hyp
. Il existe un sous-tore maximal T
de F , défini sur F , et un élément p ∈ Π
de sorte que, pour toute place v de F , il existe un couple (δ v , γ v ) ∈ D(G
v )
avec δ v ∈ ˜
T
(F v ) et γ v ∈ ˜
G p (F v ).
Elles sont équivalentes. En effet, la seconde implique évidemment la première. Supposons Hyp
vérifiée. Pour toute place réelle, fixons p v vérifiant cette
hypothèse. D’après le lemme 1.16, il existe p ∈ Π, d’ailleurs unique, tel que p soit
v-équivalent à p v pour toute place v réelle. On voit alors que cet p vérifie Hyp
.
Supposons ces hypothèses vérifiées. On fixe T
et p vérifiant Hyp
. Appliquant la construction de 3.6 à la composante ˜
G p , on construit un couple (δ 1 , γ)
avec γ ∈ ˜
G p (A F ) et un terme Δ(δ 1 , γ). Si on remplace les données T
, p, δ 1 et γ
par d’autres données T
, p, δ 1 et γ, la proposition 3.6(ii) est encore vérifiée, les
bifacteurs étant étendus comme ci-dessus au K-espace. La seule modification à
faire à la démonstration est la suivante : en 3.6, on a fixé r ∈ G SC ( ¯
F ) tel que
ad r (E
∗ ) = E
∗ et on a posé u E ∗ (σ) = ru E ∗ (σ)σ(r)
−1 ; il faut maintenant fixer
r ∈ G p,SC ( ¯
F ) tel que ad r ◦φ p,p (E
∗ ) = E
∗ et poser
u E ∗ (σ) = rφ p,p (u E ∗ (σ))∇ p,p (σ)σ(r)
−1 .
Cette construction une fois faite, le reste des paragraphes 3.6 et 3.7 s’adapte
sans changement aux K-espaces.
Les paragraphes 3.8 et 3.9 s’adaptent aussi de la façon suivante. Fixons p ∈ Π
et effectuons les constructions de 3.8 pour la composante G p . On construit donc
un groupe H p et un espace ˜
H p comme en 3.8 relatif à G p et ˜
G p . Pour q ∈ Π, on
introduit un groupe H q et un espace ˜
H q : sur ¯
F , ils sont égaux à H p et ˜
H p ; on
notant les identités φ
H
p,q : H q → H p et ˜
φ
H
p,q : ˜
H q → ˜
H p , on définit les actions galoisiennes sur H q et ˜
H q de sorte que l’on ait les égalités φ
H
p,q ◦ σ(φ
H
p,q )
−1 = ad ∇p,q (σ)