VI.3. Endoscopie
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mêmes que celles déduites de H
1 etc. . . On a d’ailleurs C 1 = C 1,H = C 1,H . On
fixe une famille ( ˜
K
1,v ) v ∈V d’espaces hyperspéciaux, dont on déduit des familles
( ˜
K
1,H,v ) v ∈V et ( ˜
K
1,H,v ) v ∈V . Pour v ∈ V , ces familles déterminent des facteurs
de transfert normalisés Δ 1,H,v et Δ 1,H,v . On démontre les assertions similaires à
(2) et (3) :
(4) pour v ∈ Val(F ) et (δ 1,v , γ v ), (δ 1,v , γ v ) ∈ D 1,H,v , on a l’égalité
Δ 1,H,v (˜ κ
1 (δ 1,v ), ˜
κ(γ v ); ˜
κ
1 (δ 1,v ), ˜
κ(γ v )) = Δ 1,H,v (δ 1,v , γ v ; δ 1,v , γ v );
(5) pour v ∈ V et (δ 1,v , γ v ) ∈ D 1,H,v , on a l’égalité
Δ 1,H,v (˜ κ
1 (δ 1,v ), ˜
κ(γ v )) = Δ 1,H,v (δ 1,v , γ v ).
Fixons un tore maximal T
H de H
vérifiant l’hypothèse (Hyp) et construisons
des éléments (δ 1 , γ) ∈ ˜
H
1 (A F ) × ˜
H(A F ) comme en 3.6. Alors le commutant T
H de
κ
(T
) dans H
vérifie l’hypothèse (Hyp) et les éléments (˜ κ
(δ 1 ), ˜
κ(γ)) ∈ ˜
H
1 (A F ) ×
˜
H(A F ) vérifient les hypothèses de ce paragraphe. De plus, on a
(6)
Δ H (δ 1 , γ) = Δ H (˜ κ
(δ 1 ), ˜
κ(γ)).
La preuve est similaire à celle de (2).
Il résulte de (4), (5) et (6) que, pour (δ 1,V , γ V ) ∈ D 1,H,V , on a l’égalité
Δ 1,H,V (˜ κ
1 (δ 1,V ), κ(γ V )) = Δ 1,H,V (δ 1,V , γ V ).
Le plongement ˜ ι H : ˜
G → ˜
H est le composé du plongement similaire ˜ ι H : ˜
G → ˜
H et
de ˜
κ. De même, l’application ˜ ι
H est la composée de ˜ ι
H et de ˜
κ
. L’égalité précédente
montre que le facteur de transfert Δ 1,V pour G
déduit de Δ 1,H,V est le même
que celui déduit de Δ 1,H,V . Donc l’isomorphisme
⊗ v∈V C
∞
c (G
v ) C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F V ))
est inchangé quand on remplace les données H etc. . . par H etc. . . L’isomorphisme
C
∞
c (G
V ) C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F V ))
ne change pas non plus puisqu’il ne dépend que de la famille ( ˜
K
1,v ) v ∈V . Cela
achève la preuve.
Remarque. En 3.3, on a défini l’espace C
∞
c (G
V ) en supposant G
relevante et V ⊃
V ram (G
). Supposant toujours G
relevante et soit V un ensemble fini quelconque
de places de F . On peut poser C
∞
c (G
V ) = ⊗ v∈V C
∞
c (G
v ). Il n’y a pas d’ambiguïté
puisque la proposition précédente affirme que, dans le domaine commun des deux
définitions (c’est-à-dire quand V contient V ram (G
)), les deux espaces ainsi définis
sont canoniquement isomorphes.
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mêmes que celles déduites de H
1 etc. . . On a d’ailleurs C 1 = C 1,H = C 1,H . On
fixe une famille ( ˜
K
1,v ) v ∈V d’espaces hyperspéciaux, dont on déduit des familles
( ˜
K
1,H,v ) v ∈V et ( ˜
K
1,H,v ) v ∈V . Pour v ∈ V , ces familles déterminent des facteurs
de transfert normalisés Δ 1,H,v et Δ 1,H,v . On démontre les assertions similaires à
(2) et (3) :
(4) pour v ∈ Val(F ) et (δ 1,v , γ v ), (δ 1,v , γ v ) ∈ D 1,H,v , on a l’égalité
Δ 1,H,v (˜ κ
1 (δ 1,v ), ˜
κ(γ v ); ˜
κ
1 (δ 1,v ), ˜
κ(γ v )) = Δ 1,H,v (δ 1,v , γ v ; δ 1,v , γ v );
(5) pour v ∈ V et (δ 1,v , γ v ) ∈ D 1,H,v , on a l’égalité
Δ 1,H,v (˜ κ
1 (δ 1,v ), ˜
κ(γ v )) = Δ 1,H,v (δ 1,v , γ v ).
Fixons un tore maximal T
H de H
vérifiant l’hypothèse (Hyp) et construisons
des éléments (δ 1 , γ) ∈ ˜
H
1 (A F ) × ˜
H(A F ) comme en 3.6. Alors le commutant T
H de
κ
(T
) dans H
vérifie l’hypothèse (Hyp) et les éléments (˜ κ
(δ 1 ), ˜
κ(γ)) ∈ ˜
H
1 (A F ) ×
˜
H(A F ) vérifient les hypothèses de ce paragraphe. De plus, on a
(6)
Δ H (δ 1 , γ) = Δ H (˜ κ
(δ 1 ), ˜
κ(γ)).
La preuve est similaire à celle de (2).
Il résulte de (4), (5) et (6) que, pour (δ 1,V , γ V ) ∈ D 1,H,V , on a l’égalité
Δ 1,H,V (˜ κ
1 (δ 1,V ), κ(γ V )) = Δ 1,H,V (δ 1,V , γ V ).
Le plongement ˜ ι H : ˜
G → ˜
H est le composé du plongement similaire ˜ ι H : ˜
G → ˜
H et
de ˜
κ. De même, l’application ˜ ι
H est la composée de ˜ ι
H et de ˜
κ
. L’égalité précédente
montre que le facteur de transfert Δ 1,V pour G
déduit de Δ 1,H,V est le même
que celui déduit de Δ 1,H,V . Donc l’isomorphisme
⊗ v∈V C
∞
c (G
v ) C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F V ))
est inchangé quand on remplace les données H etc. . . par H etc. . . L’isomorphisme
C
∞
c (G
V ) C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F V ))
ne change pas non plus puisqu’il ne dépend que de la famille ( ˜
K
1,v ) v ∈V . Cela
achève la preuve.
Remarque. En 3.3, on a défini l’espace C
∞
c (G
V ) en supposant G
relevante et V ⊃
V ram (G
). Supposant toujours G
relevante et soit V un ensemble fini quelconque
de places de F . On peut poser C
∞
c (G
V ) = ⊗ v∈V C
∞
c (G
v ). Il n’y a pas d’ambiguïté
puisque la proposition précédente affirme que, dans le domaine commun des deux
définitions (c’est-à-dire quand V contient V ram (G
)), les deux espaces ainsi définis
sont canoniquement isomorphes.