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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
On doit montrer qu’il est «canonique», c’est-à-dire qu’il ne dépend pas des
données auxiliaires.
Conservons les données (H, ˜
H, b), H
= (H
, H
, ˜
t), mais remplaçons H
1 ,
˜
H
1 , C 1,H , ˆ
ξ 1,H par d’autres données auxiliaires H
2 , ˜
H
2 , C 2,H , ˆ
ξ 2,H . On en déduit
de nouvelles données auxiliaires G
2 , ˜
G
2 , C 2 , ˆ
ξ 2 pour G
. On fixe des familles
( ˜
K
1,v ) v ∈V et ( ˜
K
2,v ) v ∈V où ˜
K
1,v , resp. ˜
K
2,v est un sous-espace hyperspécial de
˜
G
1 (F v ), resp. ˜
G
2 (F v ). Il s’en déduit des familles ( ˜
K
1,H,v ) v ∈V et ( ˜
K
2,H,v ) v ∈V où
˜
K
1,H,v , resp. ˜
K
2,H,v est un sous-espace hyperspécial de ˜
H
1 (F v ), resp. ˜
H
2 (F v ).
Comme dans la preuve de 3.7, on a deux isomorphismes
C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F V )) C
∞
c,λ2 ( ˜
G
2 (F V ))
dont nous voulons prouver qu’ils sont égaux. Ils sont donnés par des fonctions de
recollement ˜
λ 12,K,V et ˜
λ 12,Δ,V sur ˜
G
12 (F V ). Comme en 3.7, il s’agit de prouver
que ces fonctions sont égales. Mais pour H
, on a aussi des fonctions de recollement
˜
λ 12,H,K,V et ˜
λ 12,H,Δ,V sur ˜
H
12 (F V ). Des applications ˜ ι
1 et ˜ ι
2 (avec des notations
évidentes) se déduit une application ˜ ι
12 : ˜
G
12 → ˜
H
12 . Il résulte des définitions et
de (2) et (3) que l’on a les égalités
˜
λ 12,K,V = ˜
λ 12,H,K,V ◦ ˜ ι
12 , ˜
λ 12,Δ,V = ˜
λ 12,H,Δ,V ◦ ˜ ι
12 .
Parce que H vérifie l’hypothèse (Hyp), on peut lui appliquer la preuve de 3.7
qui montre l’égalité ˜
λ 12,H,K,V = ˜
λ 12,H,Δ,V . L’égalité cherchée ˜
λ 12,K,V = ˜
λ 12,Δ,V
s’ensuit.
Remplaçons maintenant les données auxiliaires (H, ˜
H, b), H
= (H
, H
, ˜
t),
H
1 , ˜
H
1 , C 1,H , ˆ
ξ 1,H par d’autres ( ¯
H, ˜ ¯
H, b) etc. . . vérifiant les mêmes conditions. En
utilisant le lemme 3.8 (ii), on introduit des données (H, ˜
H, b) et H
= (H
, H
, ˜
t
)
qui dominent (H, ˜
H, b) et H
ainsi que ( ¯
H, ˜ ¯
H, b) et H
. On peut fixer des données
auxiliaires H
1 , ˜
H
1 , C 1,H , ˆ
ξ 1,H . On peut décomposer la preuve en deux : prouver
que l’isomorphisme ne change pas quand on remplace les données H etc. . . par
les données H etc. . . puis qu’il ne change pas quand on remplace les données H
etc. . . par ¯
H etc. . . Les deux assertions sont similaires. On peut ne démontrer
que la première partie et oublier les données ¯
H etc. . . On s’est ainsi ramené au
cas où les données (H, ˜
H, b) et H
= (H
, H
, ˜
t
) dominent (H, ˜
H, b) et H
. En
particulier, on a des plongements compatibles κ : H → H, ˜
κ : ˜
H → ˜
H et,
dualement, des plongements ˆ
κ et ˆ ˜
κ. On a aussi des homomorphismes compatibles
κ
: H
→ H
et ˜
κ
: ˜
H
→ ˜
H
. Le même procédé qui nous a permis de déduire de
H
1 etc. . . des données auxiliaires G
1 etc. . . nous permet maintenant de déduire des
données H
1 etc. . . des données auxiliaires pour H
, que l’on note H
2 , ˜
H
2 etc. . . Par
exemple, H
2 est le produit fibré de H
et H
1 au-dessus de H
. D’après ce que l’on
a déjà démontré, notre isomorphisme est insensible au changement de ces données
auxiliaires, on peut donc supposer que H
1 = H
2 etc. . . Il résulte des constructions
que les données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 pour G
déduites de H
1 etc. . . sont les
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
On doit montrer qu’il est «canonique», c’est-à-dire qu’il ne dépend pas des
données auxiliaires.
Conservons les données (H, ˜
H, b), H
= (H
, H
, ˜
t), mais remplaçons H
1 ,
˜
H
1 , C 1,H , ˆ
ξ 1,H par d’autres données auxiliaires H
2 , ˜
H
2 , C 2,H , ˆ
ξ 2,H . On en déduit
de nouvelles données auxiliaires G
2 , ˜
G
2 , C 2 , ˆ
ξ 2 pour G
. On fixe des familles
( ˜
K
1,v ) v ∈V et ( ˜
K
2,v ) v ∈V où ˜
K
1,v , resp. ˜
K
2,v est un sous-espace hyperspécial de
˜
G
1 (F v ), resp. ˜
G
2 (F v ). Il s’en déduit des familles ( ˜
K
1,H,v ) v ∈V et ( ˜
K
2,H,v ) v ∈V où
˜
K
1,H,v , resp. ˜
K
2,H,v est un sous-espace hyperspécial de ˜
H
1 (F v ), resp. ˜
H
2 (F v ).
Comme dans la preuve de 3.7, on a deux isomorphismes
C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F V )) C
∞
c,λ2 ( ˜
G
2 (F V ))
dont nous voulons prouver qu’ils sont égaux. Ils sont donnés par des fonctions de
recollement ˜
λ 12,K,V et ˜
λ 12,Δ,V sur ˜
G
12 (F V ). Comme en 3.7, il s’agit de prouver
que ces fonctions sont égales. Mais pour H
, on a aussi des fonctions de recollement
˜
λ 12,H,K,V et ˜
λ 12,H,Δ,V sur ˜
H
12 (F V ). Des applications ˜ ι
1 et ˜ ι
2 (avec des notations
évidentes) se déduit une application ˜ ι
12 : ˜
G
12 → ˜
H
12 . Il résulte des définitions et
de (2) et (3) que l’on a les égalités
˜
λ 12,K,V = ˜
λ 12,H,K,V ◦ ˜ ι
12 , ˜
λ 12,Δ,V = ˜
λ 12,H,Δ,V ◦ ˜ ι
12 .
Parce que H vérifie l’hypothèse (Hyp), on peut lui appliquer la preuve de 3.7
qui montre l’égalité ˜
λ 12,H,K,V = ˜
λ 12,H,Δ,V . L’égalité cherchée ˜
λ 12,K,V = ˜
λ 12,Δ,V
s’ensuit.
Remplaçons maintenant les données auxiliaires (H, ˜
H, b), H
= (H
, H
, ˜
t),
H
1 , ˜
H
1 , C 1,H , ˆ
ξ 1,H par d’autres ( ¯
H, ˜ ¯
H, b) etc. . . vérifiant les mêmes conditions. En
utilisant le lemme 3.8 (ii), on introduit des données (H, ˜
H, b) et H
= (H
, H
, ˜
t
)
qui dominent (H, ˜
H, b) et H
ainsi que ( ¯
H, ˜ ¯
H, b) et H
. On peut fixer des données
auxiliaires H
1 , ˜
H
1 , C 1,H , ˆ
ξ 1,H . On peut décomposer la preuve en deux : prouver
que l’isomorphisme ne change pas quand on remplace les données H etc. . . par
les données H etc. . . puis qu’il ne change pas quand on remplace les données H
etc. . . par ¯
H etc. . . Les deux assertions sont similaires. On peut ne démontrer
que la première partie et oublier les données ¯
H etc. . . On s’est ainsi ramené au
cas où les données (H, ˜
H, b) et H
= (H
, H
, ˜
t
) dominent (H, ˜
H, b) et H
. En
particulier, on a des plongements compatibles κ : H → H, ˜
κ : ˜
H → ˜
H et,
dualement, des plongements ˆ
κ et ˆ ˜
κ. On a aussi des homomorphismes compatibles
κ
: H
→ H
et ˜
κ
: ˜
H
→ ˜
H
. Le même procédé qui nous a permis de déduire de
H
1 etc. . . des données auxiliaires G
1 etc. . . nous permet maintenant de déduire des
données H
1 etc. . . des données auxiliaires pour H
, que l’on note H
2 , ˜
H
2 etc. . . Par
exemple, H
2 est le produit fibré de H
et H
1 au-dessus de H
. D’après ce que l’on
a déjà démontré, notre isomorphisme est insensible au changement de ces données
auxiliaires, on peut donc supposer que H
1 = H
2 etc. . . Il résulte des constructions
que les données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 pour G
déduites de H
1 etc. . . sont les