VI.3. Endoscopie
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deux côtés car ces facteurs sont insensibles aux centres et on a G AD = H AD ,
G
AD = H
AD . Il faut comparer les facteurs Δ imp,H,v et Δ imp,v . On a des égalités
Δ imp,v (δ 1 , γ; δ 1 , γ) =
(V, ν 1 ), ( ˆ
V 1 , s)
−1
,
Δ imp,H,v (˜ ι
1 (δ 1 ), ˜ ι(γ); ˜ ι
1 (δ 1 ), ˜ ι(γ)) =
(V H , ν 1,H ), ( ˆ
V 1,H , t)
−1
,
les produits étant respectivement ceux sur
H
1,0 (Γ Fv ; U
1−θ
→ S 1 ) × H
1,0 (W Fv ; ˆ
S 1
1− ˆ
θ
→ ˆ
U )
et
H
1,0 (Γ Fv ; U H
1−θ
→ S 1,H ) × H
1,0 (W Fv ; ˆ
S 1,H
1− ˆ
θ
→ ˆ
U H ).
En fait, on a U H = U et des homomorphismes duaux S 1 → S 1,H , ˆ
S 1,H → ˆ
S 1 .
En choisissant convenablement les données auxiliaires intervenant, on vérifie que
( ˆ
V 1 , s) est l’image naturelle de ( ˆ
V 1,H , t) par l’homomorphisme
H
1,0 (W Fv ; ˆ
S 1,H
1− ˆ
θ
→ ˆ
U H ) → H
1,0 (W Fv ; ˆ
S 1
1− ˆ
θ
→ ˆ
U ),
tandis que (V H , ν 1,H ) est l’image naturelle de (V, ν 1 ) par l’homomorphisme dual
H
1,0 (Γ Fv ; U
1−θ
→ S 1 ) → H
1,0 (Γ Fv ; U H
1−θ
→ S 1,H ).
L’égalité (2) résulte alors simplement de la compatibilité des produits. Cela prouve
(2) et (1).
Pour v ∈ V , on a deux facteurs de transfert normalisés Δ 1,v sur D 1,v et
Δ 1,H,v sur D 1,H,v . Pour (δ 1,v , γ v ) ∈ D 1,v , on a l’égalité
(3) Δ 1,v (δ 1,v , γ v ) = Δ 1,H,v (˜ ι
1 (δ 1,v ), ˜ ι(γ v )).
La preuve est similaire à celle de (2).
Comme en 3.7, de l’existence du facteur de transfert Δ 1,V va résulter la
proposition suivante.
Proposition. Il existe un isomorphisme canonique
C
∞
c (G
V ) ⊗ v∈V C
∞
c (G
v ).
Preuve. On choisit des données (H, ˜
H, b) etc. . . et on construit le facteur de transfert Δ 1,V sur D 1,V . Comme en 3.7, on a alors les isomorphismes
C
∞
c (G
V ) C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F V )) ⊗ v∈V C
∞
c (G
v ),
le premier étant relatif aux données ( ˜
K
1,v ) v ∈V et le second au facteur de transfert
Δ 1,V . Le composé de ces isomorphismes fournit celui de l’énoncé.
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deux côtés car ces facteurs sont insensibles aux centres et on a G AD = H AD ,
G
AD = H
AD . Il faut comparer les facteurs Δ imp,H,v et Δ imp,v . On a des égalités
Δ imp,v (δ 1 , γ; δ 1 , γ) =
(V, ν 1 ), ( ˆ
V 1 , s)
−1
,
Δ imp,H,v (˜ ι
1 (δ 1 ), ˜ ι(γ); ˜ ι
1 (δ 1 ), ˜ ι(γ)) =
(V H , ν 1,H ), ( ˆ
V 1,H , t)
−1
,
les produits étant respectivement ceux sur
H
1,0 (Γ Fv ; U
1−θ
→ S 1 ) × H
1,0 (W Fv ; ˆ
S 1
1− ˆ
θ
→ ˆ
U )
et
H
1,0 (Γ Fv ; U H
1−θ
→ S 1,H ) × H
1,0 (W Fv ; ˆ
S 1,H
1− ˆ
θ
→ ˆ
U H ).
En fait, on a U H = U et des homomorphismes duaux S 1 → S 1,H , ˆ
S 1,H → ˆ
S 1 .
En choisissant convenablement les données auxiliaires intervenant, on vérifie que
( ˆ
V 1 , s) est l’image naturelle de ( ˆ
V 1,H , t) par l’homomorphisme
H
1,0 (W Fv ; ˆ
S 1,H
1− ˆ
θ
→ ˆ
U H ) → H
1,0 (W Fv ; ˆ
S 1
1− ˆ
θ
→ ˆ
U ),
tandis que (V H , ν 1,H ) est l’image naturelle de (V, ν 1 ) par l’homomorphisme dual
H
1,0 (Γ Fv ; U
1−θ
→ S 1 ) → H
1,0 (Γ Fv ; U H
1−θ
→ S 1,H ).
L’égalité (2) résulte alors simplement de la compatibilité des produits. Cela prouve
(2) et (1).
Pour v ∈ V , on a deux facteurs de transfert normalisés Δ 1,v sur D 1,v et
Δ 1,H,v sur D 1,H,v . Pour (δ 1,v , γ v ) ∈ D 1,v , on a l’égalité
(3) Δ 1,v (δ 1,v , γ v ) = Δ 1,H,v (˜ ι
1 (δ 1,v ), ˜ ι(γ v )).
La preuve est similaire à celle de (2).
Comme en 3.7, de l’existence du facteur de transfert Δ 1,V va résulter la
proposition suivante.
Proposition. Il existe un isomorphisme canonique
C
∞
c (G
V ) ⊗ v∈V C
∞
c (G
v ).
Preuve. On choisit des données (H, ˜
H, b) etc. . . et on construit le facteur de transfert Δ 1,V sur D 1,V . Comme en 3.7, on a alors les isomorphismes
C
∞
c (G
V ) C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F V )) ⊗ v∈V C
∞
c (G
v ),
le premier étant relatif aux données ( ˜
K
1,v ) v ∈V et le second au facteur de transfert
Δ 1,V . Le composé de ces isomorphismes fournit celui de l’énoncé.