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Chapitre VII. Descente globale
qui a les mêmes propriétés. Notons x(I ) le quotient du nombre d’éléments de son
noyau par le nombre d’éléments de son conoyau.
Lemme. On a l’égalité
τ (I ) = τ ( ¯
G )x(I )[I (F ) : ¯
G (F )]
−1 [I (F V ) : ¯
G (F V )]|(I / ¯
G )(F V )|
−1 .
Preuve. On a rappelé en 4.1 la définition de la mesure de Tamagawa sur ¯
G (A F ).
Elle est de la forme dx =
−1
¯
G
⊗ v∈Val(F ) dx v , où ¯
G est le terme principal du
développement en s = 1 d’une certaine fonction L et où, pour toute place v,
dx v est une certaine mesure sur ¯
G (F v ). Une définition analogue vaut pour le
groupe quasi-connexe I . La mesure de Tamagawa sur I (A F ) est de la forme
di =
−1
I ⊗ v∈Val(F ) di v , avec des notations évidentes. En inspectant la définition
de [52] 1.2, on s’aperçoit que
– on a I = ¯
G ;
– pour tout v ∈ Val(F ), la restriction de di v à l’ouvert ¯
G (F v ) de I (F v ) est
égale à |(I / ¯
G )(F v )|
−1 dx v .
Pour définir les nombres de Tamagawa, on a aussi besoin de mesures sur
le groupe A ¯
G . Ce groupe s’identifie naturellement à Hom(X
∗ ( ¯
G )
ΓF , R), ou encore à Hom(X
∗ (I )
ΓF , R). On définit les réseaux A ¯
G,Z = Hom(X
∗ ( ¯
G )
ΓF , Z)
et A I,Z = Hom(X
∗ (I )
ΓF , Z). On note da ¯
G la mesure de Haar sur A ¯
G telle
que A ¯
G,Z soit de covolume 1. Selon [52] 1.2, on note da I la mesure de Haar
sur A ¯
G telle que A I,Z soit de covolume |X
∗ (I / ¯
G )
ΓF
|
−1 . Alors τ ( ¯
G ) est la
mesure de ¯
G (F )\ ¯
G (A F )/A ¯
G , ¯
G (A F ) et A ¯
G étant munis des mesures dx et
da ¯
G . Et τ (I ) est la mesure de I (F )\I (A F )/A ¯
G , I (A F ) et A ¯
G étant munis des mesures di et da I . Le réseau A ¯
G,Z est contenu dans A I,Z et l’indice de
ce sous-groupe est égal au nombre d’éléments du conoyau de l’homomorphisme
(1). Le groupe X
∗ (I / ¯
G )
ΓF est le noyau cet homomorphisme. Il en résulte que
da I = x(I )
−1 da ¯
G . On peut donc utiliser l’unique mesure da ¯
G sur A ¯
G et définir
τ (I ) comme le produit de x(I ) et de la mesure de I (F )\I (A F )/A ¯
G , I (A F )
et A ¯
G étant munis des mesures di et da ¯
G .
Pour v ∈ V , on a défini le groupe hyperspécial K ,v = ad h,v (K v ) ∩ ¯
G (F v ).
Posons K I,v = ad h,v (K v ) ∩ I (F v ). Montrons que
(2) pour toute place v ∈ V , l’application K I,v → (I / ¯
G )(F v ) est surjective ; les
groupes (I / ¯
G )(F v ), K I,v /K ,v et I (F v )/ ¯
G (F v ) sont isomorphes.
On peut fixer une paire de Borel définie sur F v de ¯
G dont est issu le sousgroupe hyperspécial K ,v . On note son tore ¯
T 0 . Notons T 0 son commutant dans
G. On a alors I / ¯
G T
θ
0 /T
θ,0
0 . On a déjà dit que, pour un tel tore, on a
T
θ
0 ( ¯
F v )/T
θ,0
0 ( ¯
F v ) = T
θ
0 (o
nr
v )/T
θ,0
0 (o
nr
v ). Parce que H
1 (o v ; T
θ,0
0 ) = 0, l’homomorphisme
T
θ
0 (o v ) → H
0 (o v ; T
θ
0 /T
θ,0
0 ) = (T
θ
0 /T
θ,0
0 )(F v ) = (I / ¯
G )(F v )
Chapitre VII. Descente globale
qui a les mêmes propriétés. Notons x(I ) le quotient du nombre d’éléments de son
noyau par le nombre d’éléments de son conoyau.
Lemme. On a l’égalité
τ (I ) = τ ( ¯
G )x(I )[I (F ) : ¯
G (F )]
−1 [I (F V ) : ¯
G (F V )]|(I / ¯
G )(F V )|
−1 .
Preuve. On a rappelé en 4.1 la définition de la mesure de Tamagawa sur ¯
G (A F ).
Elle est de la forme dx =
−1
¯
G
⊗ v∈Val(F ) dx v , où ¯
G est le terme principal du
développement en s = 1 d’une certaine fonction L et où, pour toute place v,
dx v est une certaine mesure sur ¯
G (F v ). Une définition analogue vaut pour le
groupe quasi-connexe I . La mesure de Tamagawa sur I (A F ) est de la forme
di =
−1
I ⊗ v∈Val(F ) di v , avec des notations évidentes. En inspectant la définition
de [52] 1.2, on s’aperçoit que
– on a I = ¯
G ;
– pour tout v ∈ Val(F ), la restriction de di v à l’ouvert ¯
G (F v ) de I (F v ) est
égale à |(I / ¯
G )(F v )|
−1 dx v .
Pour définir les nombres de Tamagawa, on a aussi besoin de mesures sur
le groupe A ¯
G . Ce groupe s’identifie naturellement à Hom(X
∗ ( ¯
G )
ΓF , R), ou encore à Hom(X
∗ (I )
ΓF , R). On définit les réseaux A ¯
G,Z = Hom(X
∗ ( ¯
G )
ΓF , Z)
et A I,Z = Hom(X
∗ (I )
ΓF , Z). On note da ¯
G la mesure de Haar sur A ¯
G telle
que A ¯
G,Z soit de covolume 1. Selon [52] 1.2, on note da I la mesure de Haar
sur A ¯
G telle que A I,Z soit de covolume |X
∗ (I / ¯
G )
ΓF
|
−1 . Alors τ ( ¯
G ) est la
mesure de ¯
G (F )\ ¯
G (A F )/A ¯
G , ¯
G (A F ) et A ¯
G étant munis des mesures dx et
da ¯
G . Et τ (I ) est la mesure de I (F )\I (A F )/A ¯
G , I (A F ) et A ¯
G étant munis des mesures di et da I . Le réseau A ¯
G,Z est contenu dans A I,Z et l’indice de
ce sous-groupe est égal au nombre d’éléments du conoyau de l’homomorphisme
(1). Le groupe X
∗ (I / ¯
G )
ΓF est le noyau cet homomorphisme. Il en résulte que
da I = x(I )
−1 da ¯
G . On peut donc utiliser l’unique mesure da ¯
G sur A ¯
G et définir
τ (I ) comme le produit de x(I ) et de la mesure de I (F )\I (A F )/A ¯
G , I (A F )
et A ¯
G étant munis des mesures di et da ¯
G .
Pour v ∈ V , on a défini le groupe hyperspécial K ,v = ad h,v (K v ) ∩ ¯
G (F v ).
Posons K I,v = ad h,v (K v ) ∩ I (F v ). Montrons que
(2) pour toute place v ∈ V , l’application K I,v → (I / ¯
G )(F v ) est surjective ; les
groupes (I / ¯
G )(F v ), K I,v /K ,v et I (F v )/ ¯
G (F v ) sont isomorphes.
On peut fixer une paire de Borel définie sur F v de ¯
G dont est issu le sousgroupe hyperspécial K ,v . On note son tore ¯
T 0 . Notons T 0 son commutant dans
G. On a alors I / ¯
G T
θ
0 /T
θ,0
0 . On a déjà dit que, pour un tel tore, on a
T
θ
0 ( ¯
F v )/T
θ,0
0 ( ¯
F v ) = T
θ
0 (o
nr
v )/T
θ,0
0 (o
nr
v ). Parce que H
1 (o v ; T
θ,0
0 ) = 0, l’homomorphisme
T
θ
0 (o v ) → H
0 (o v ; T
θ
0 /T
θ,0
0 ) = (T
θ
0 /T
θ,0
0 )(F v ) = (I / ¯
G )(F v )