Préface
xxvii
est une somme finie de ω-intégrales orbitales sur des classes de conjugaison par
M (F V ) d’éléments de ˜
M (F ) (c’est un objet essentiellement global) et I
˜
G
˜
M
(., .) est
une intégrale orbitale pondérée ω-équivariante (c’est un objet essentiellement local,
fortement relié aux distributions que l’on a étudiées dans le premier volume). On
doit stabiliser ces deux types d’ingrédients. La stabilisation des termes globaux
A
˜
M (O, ω) a été l’objet de plusieurs travaux successifs de Langlands, Kottwitz,
Kottwitz et Shelstad, Arthur et Labesse. Arthur a traité entièrement le problème,
cf. [19], mais dans le cas non tordu. Labesse a traité le cas tordu, cf [53], mais
seulement dans le cas des orbites semi-simples. Nous reprenons les méthodes de
ces deux auteurs pour traiter le cas général dans le chapitre VII, en utilisant
une technique de descente. Toutefois, comme dans Arthur, certaines classes de
conjugaison exceptionnelles ne se traitent pas directement et leur stabilisation ne
sera obtenue que dans le chapitre X. La stabilisation des termes «locaux» I
˜
G
˜
M
(., .)
est plus difficile (pour ˜
M = ˜
G). La raison en est que la méthode d’Arthur qui rend
invariante la formule des traces est très dissymétrique : elle concentre les difficultés
du côté géométrique. En fait, ces distributions I
˜
G
˜
M
(., .) n’ont de «géométrique»
que leur ensemble d’indexation (des classes de conjugaison dans ˜
M (F V )). Leur
définition fait intervenir des objets spectraux et en fait, ces distributions sont à
peu près incalculables en toute généralité. Leur stabilisation, obtenue au chapitre
X, se fait par voie globale c’est-à-dire en utilisant toute la force de la formule des
traces (bien que quelques résultats préparatoires aient déjà été prouvés dans le
premier volume). C’est donc ce chapitre X qui contient l’essentiel de la preuve de
la stabilisation géométrique. C’est aussi celui où sera abordé le côté spectral de
la formule. Sa stabilisation résulte de celle de la partie géométrique mais, comme
on vient de le dire, par une démonstration qui effectue un va-et-vient entre les
deux côtés de la formule. Signalons que notre présentation de la formule spectrale
est quelque peu simplifiée par rapport à celle d’Arthur quant aux questions de
convergence car on dispose aujourd’hui des résultats sur ce sujet de Müller [65] et
Finis, Lapid et Müller [35].
Le chapitre VI présente la partie géométrique de la formule et énonce les
résultats concernant sa stabilisation. On y énonce aussi les hypothèses de récurrence générales qui vaudront pour toute la suite de la démonstration. Toutefois,
dans bien des chapitres, une partie seulement de ces hypothèses sera utilisée et
on expliquera selon les cas quelles sont les hypothèses vraiment utiles. On a déjà
dit que le chapitre VII est consacré à la stabilisation de presque toutes les intégrales orbitales A
˜
G (O, ω). C’est l’équivalent dans le cas tordu du deuxième article
[19] d’Arthur. Le chapitre VIII commence la démonstration de la stabilisation des
intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes. On y démontre l’analogue de la proposition 3.1 de [20]. Le chapitre IX démontre une proposition analogue mais sur le
corps de base réel. En effet, contrairement à Arthur, nous utilisons la même méthode pour traiter les problèmes locaux, que le corps de base soit archimédien ou
non. Les preuves sont toutefois assez différentes dans les deux cas. En particulier,
les questions de K-finitude sont nettement plus compliquées sur un corps de base
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est une somme finie de ω-intégrales orbitales sur des classes de conjugaison par
M (F V ) d’éléments de ˜
M (F ) (c’est un objet essentiellement global) et I
˜
G
˜
M
(., .) est
une intégrale orbitale pondérée ω-équivariante (c’est un objet essentiellement local,
fortement relié aux distributions que l’on a étudiées dans le premier volume). On
doit stabiliser ces deux types d’ingrédients. La stabilisation des termes globaux
A
˜
M (O, ω) a été l’objet de plusieurs travaux successifs de Langlands, Kottwitz,
Kottwitz et Shelstad, Arthur et Labesse. Arthur a traité entièrement le problème,
cf. [19], mais dans le cas non tordu. Labesse a traité le cas tordu, cf [53], mais
seulement dans le cas des orbites semi-simples. Nous reprenons les méthodes de
ces deux auteurs pour traiter le cas général dans le chapitre VII, en utilisant
une technique de descente. Toutefois, comme dans Arthur, certaines classes de
conjugaison exceptionnelles ne se traitent pas directement et leur stabilisation ne
sera obtenue que dans le chapitre X. La stabilisation des termes «locaux» I
˜
G
˜
M
(., .)
est plus difficile (pour ˜
M = ˜
G). La raison en est que la méthode d’Arthur qui rend
invariante la formule des traces est très dissymétrique : elle concentre les difficultés
du côté géométrique. En fait, ces distributions I
˜
G
˜
M
(., .) n’ont de «géométrique»
que leur ensemble d’indexation (des classes de conjugaison dans ˜
M (F V )). Leur
définition fait intervenir des objets spectraux et en fait, ces distributions sont à
peu près incalculables en toute généralité. Leur stabilisation, obtenue au chapitre
X, se fait par voie globale c’est-à-dire en utilisant toute la force de la formule des
traces (bien que quelques résultats préparatoires aient déjà été prouvés dans le
premier volume). C’est donc ce chapitre X qui contient l’essentiel de la preuve de
la stabilisation géométrique. C’est aussi celui où sera abordé le côté spectral de
la formule. Sa stabilisation résulte de celle de la partie géométrique mais, comme
on vient de le dire, par une démonstration qui effectue un va-et-vient entre les
deux côtés de la formule. Signalons que notre présentation de la formule spectrale
est quelque peu simplifiée par rapport à celle d’Arthur quant aux questions de
convergence car on dispose aujourd’hui des résultats sur ce sujet de Müller [65] et
Finis, Lapid et Müller [35].
Le chapitre VI présente la partie géométrique de la formule et énonce les
résultats concernant sa stabilisation. On y énonce aussi les hypothèses de récurrence générales qui vaudront pour toute la suite de la démonstration. Toutefois,
dans bien des chapitres, une partie seulement de ces hypothèses sera utilisée et
on expliquera selon les cas quelles sont les hypothèses vraiment utiles. On a déjà
dit que le chapitre VII est consacré à la stabilisation de presque toutes les intégrales orbitales A
˜
G (O, ω). C’est l’équivalent dans le cas tordu du deuxième article
[19] d’Arthur. Le chapitre VIII commence la démonstration de la stabilisation des
intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes. On y démontre l’analogue de la proposition 3.1 de [20]. Le chapitre IX démontre une proposition analogue mais sur le
corps de base réel. En effet, contrairement à Arthur, nous utilisons la même méthode pour traiter les problèmes locaux, que le corps de base soit archimédien ou
non. Les preuves sont toutefois assez différentes dans les deux cas. En particulier,
les questions de K-finitude sont nettement plus compliquées sur un corps de base