xxvi
Préface
donnée endoscopique). Dans ce cas, pour un indice = g´ eom ou = spec, on pose
SI
˜
G
(f V ) = I
˜
G
(f V ) −
G ;G =G
i( ˜
G, G
)SI
˜
G
(f
˜
G
V ).
On a supprimé le ω dans I
˜
G
(f V ) puisqu’il est trivial. La somme porte sur les données endoscopiques de (G, ˜
G, ω = 1) qui vérifient diverses conditions : ellipticité,
non-ramification hors de V etc. . . Il n’y en a qu’un nombre fini. Le terme i( ˜
G, G
)
est une constante explicite. Puisqu’on impose de plus G
= G, les groupes G
qui
apparaissent sont de dimension strictement plus petite que celle de G. On peut
donc supposer définies les distributions SI
˜
G
(.). La fonction f
˜
G
V est le transfert
de f V . L’existence de ce transfert endoscopique est conséquence des travaux de
Shelstad dans le cas des places archimédiennes (cf. [74]), de Ngo Bao Chau dans le
cas des places finies. Le théorème que nous prouverons dans cette situation est que
la distribution f V → SI
˜
G (f V ) est stable, c’est-à-dire qu’elle annule les fonctions
dont toutes les intégrales orbitales stables sont nulles. Revenons maintenant à un
triplet (G, ˜
G, ω) quelconque. On définit la version endoscopique I
˜
G,E
(ω, f V ) du
terme géométrique ou spectral de la formule des traces par l’égalité
I
˜
G,E
(ω, f V ) =
G
i( ˜
G, G
)SI
˜
G
(f
˜
G
V ),
avec les mêmes explications que ci-dessus. Le théorème principal que nous prouverons est l’égalité I
˜
G,E
(ω, f V ) = I
˜
G
(ω, f V ). Pour = spec, celle-ci relie les représentations automorphes π de G(A F ) vérifiant la condition π ◦ ad γ π ⊗ ω
aux représentations automorphes des groupes associés aux données endoscopiques
de (G, ˜
G, ω). Un travail assez facile, fait en [X] 5.7 et fortement inspiré de [24],
sépare la partie discrète de la partie continue de I
˜
G
spec (ω, f V ). La partie discrète
voit vraiment des traces de ω-représentations, même si se glissent des opérateurs
d’entrelacement, tandis que la partie continue voit des intégrales de caractères
pondérés parfaitement incalculables. La stabilisation vaut encore en ne gardant
que les parties discrètes des deux membres de l’égalité ci-dessus. Celles-ci sont
alors indépendantes, en un sens assez clair, du choix de l’ensemble de places V ,
grâce au lemme fondamental pour toute l’algèbre de Hecke sphérique (cf. [60]).
Signalons tout de suite que la présentation ci-dessus est grandement simplifiée. D’abord, les places réelles nécessitent parfois de considérer ensemble plusieurs
formes intérieures du groupe G : ce sont les K-groupes d’Arthur, ici les K-espaces.
On a expliqué au chapitre I pourquoi leur introduction est utile, cf. [I] 1.11 et [I]
4.9. D’autre part, les transferts que l’on a noté ici f
˜
G
V vivent en général non pas
sur ˜
G
, mais sur une donnée auxiliaire ˜
G
1 , laquelle est un espace tordu sur une
extension G
1 de G
par un tore central.
Le terme géométrique I
˜
G
g´ eom (ω, f V ) se présente comme une somme sur les
espaces de Levi ˜
M de ˜
G de sommes de termes I
˜
G
˜
M
(A
˜
M (O, ω), f V ). Ici, A
˜
M (O, ω)
Préface
donnée endoscopique). Dans ce cas, pour un indice = g´ eom ou = spec, on pose
SI
˜
G
(f V ) = I
˜
G
(f V ) −
G ;G =G
i( ˜
G, G
)SI
˜
G
(f
˜
G
V ).
On a supprimé le ω dans I
˜
G
(f V ) puisqu’il est trivial. La somme porte sur les données endoscopiques de (G, ˜
G, ω = 1) qui vérifient diverses conditions : ellipticité,
non-ramification hors de V etc. . . Il n’y en a qu’un nombre fini. Le terme i( ˜
G, G
)
est une constante explicite. Puisqu’on impose de plus G
= G, les groupes G
qui
apparaissent sont de dimension strictement plus petite que celle de G. On peut
donc supposer définies les distributions SI
˜
G
(.). La fonction f
˜
G
V est le transfert
de f V . L’existence de ce transfert endoscopique est conséquence des travaux de
Shelstad dans le cas des places archimédiennes (cf. [74]), de Ngo Bao Chau dans le
cas des places finies. Le théorème que nous prouverons dans cette situation est que
la distribution f V → SI
˜
G (f V ) est stable, c’est-à-dire qu’elle annule les fonctions
dont toutes les intégrales orbitales stables sont nulles. Revenons maintenant à un
triplet (G, ˜
G, ω) quelconque. On définit la version endoscopique I
˜
G,E
(ω, f V ) du
terme géométrique ou spectral de la formule des traces par l’égalité
I
˜
G,E
(ω, f V ) =
G
i( ˜
G, G
)SI
˜
G
(f
˜
G
V ),
avec les mêmes explications que ci-dessus. Le théorème principal que nous prouverons est l’égalité I
˜
G,E
(ω, f V ) = I
˜
G
(ω, f V ). Pour = spec, celle-ci relie les représentations automorphes π de G(A F ) vérifiant la condition π ◦ ad γ π ⊗ ω
aux représentations automorphes des groupes associés aux données endoscopiques
de (G, ˜
G, ω). Un travail assez facile, fait en [X] 5.7 et fortement inspiré de [24],
sépare la partie discrète de la partie continue de I
˜
G
spec (ω, f V ). La partie discrète
voit vraiment des traces de ω-représentations, même si se glissent des opérateurs
d’entrelacement, tandis que la partie continue voit des intégrales de caractères
pondérés parfaitement incalculables. La stabilisation vaut encore en ne gardant
que les parties discrètes des deux membres de l’égalité ci-dessus. Celles-ci sont
alors indépendantes, en un sens assez clair, du choix de l’ensemble de places V ,
grâce au lemme fondamental pour toute l’algèbre de Hecke sphérique (cf. [60]).
Signalons tout de suite que la présentation ci-dessus est grandement simplifiée. D’abord, les places réelles nécessitent parfois de considérer ensemble plusieurs
formes intérieures du groupe G : ce sont les K-groupes d’Arthur, ici les K-espaces.
On a expliqué au chapitre I pourquoi leur introduction est utile, cf. [I] 1.11 et [I]
4.9. D’autre part, les transferts que l’on a noté ici f
˜
G
V vivent en général non pas
sur ˜
G
, mais sur une donnée auxiliaire ˜
G
1 , laquelle est un espace tordu sur une
extension G
1 de G
par un tore central.
Le terme géométrique I
˜
G
g´ eom (ω, f V ) se présente comme une somme sur les
espaces de Levi ˜
M de ˜
G de sommes de termes I
˜
G
˜
M
(A
˜
M (O, ω), f V ). Ici, A
˜
M (O, ω)