Préface
Ainsi qu’on l’a dit dans l’introduction du premier volume, notre but est de stabiliser la formule des traces tordue en toute généralité, en suivant la méthode utilisée
par Arthur dans ses trois articles [18], [19], [20]. Notre résultat élimine l’hypothèse
essentielle posée par le même Arthur dans son livre [23] où il décrit le spectre
discret des groupes classiques à partir de celui des groupes linéaires généraux.
Nos données de départ sont un corps de nombres F , un groupe réductif
connexe G défini sur F , un espace tordu ˜
G sur G et un caractère automorphe ω
de G(A F ) (où A F est l’anneau d’adèles de F ). Si l’on préfère, on peut fixer un
automorphisme θ de G défini sur F . L’espace tordu associé est l’ensemble ˜
G = Gθ,
qui est muni des actions de G à gauche et à droite définies par (g, γ = xθ, g
) →
γ
= gxθ(g
)θ. En particulier, à tout élément γ de ˜
G est associé un automorphisme
ad γ de G : si γ = xθ, ad γ = ad x ◦ θ, où ad x est la conjugaison par x. Dans cette
situation, la formule des traces ω-équivariante permet d’étudier les représentations
automorphes π de G(A F ) telles que π◦ad γ π⊗ω, où γ est un élément quelconque
de ˜
G(A F ). Elle se présente de la façon suivante. On fixe un ensemble fini V de
places de F , assez grand (contenant toutes les«mauvaises» places). On note F V le
produit des localisés F v pour v ∈ V . Pour f V ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )), on a une égalité
I
˜
G
g´ eom (ω, f V ) = I
˜
G
spec (ω, f V ),
le premier terme étant le côté «géométrique» de la formule et le second étant son
côté «spectral». Cette égalité a été établie par Arthur, cf. [8], à partir de la version
non-ω-équivariante démontrée dans le fameux «Morning Seminar». Celui-ci a été
enfin rédigé il y a quelques années par Labesse et l’un de ses collaborateurs [55].
Comme dans le cas local, on introduit la notion de donnée endoscopique de
(G, ˜
G, ω). Une telle donnée G
est un objet assez riche et détermine en tout cas
un groupe G
réductif connexe défini sur F et quasi-déployé et un espace tordu
˜
G
sur G
. Il n’y a plus de caractère et l’espace tordu ˜
G
est assez simple : la
torsion se fait par automorphismes intérieurs de G
. Cela étant, la stabilisation de
la formule des traces tordue se fait par récurrence sur la dimension de G selon le
schéma assez simple suivant. On considère d’abord le cas où G est quasi-déployé,
˜
G est «à torsion intérieure» et ω = 1 (comme on vient de le dire, ces conditions
sont remplies si l’on remplace la donnée de départ (G, ˜
G, ω) par celle issue d’une
xxv
Ainsi qu’on l’a dit dans l’introduction du premier volume, notre but est de stabiliser la formule des traces tordue en toute généralité, en suivant la méthode utilisée
par Arthur dans ses trois articles [18], [19], [20]. Notre résultat élimine l’hypothèse
essentielle posée par le même Arthur dans son livre [23] où il décrit le spectre
discret des groupes classiques à partir de celui des groupes linéaires généraux.
Nos données de départ sont un corps de nombres F , un groupe réductif
connexe G défini sur F , un espace tordu ˜
G sur G et un caractère automorphe ω
de G(A F ) (où A F est l’anneau d’adèles de F ). Si l’on préfère, on peut fixer un
automorphisme θ de G défini sur F . L’espace tordu associé est l’ensemble ˜
G = Gθ,
qui est muni des actions de G à gauche et à droite définies par (g, γ = xθ, g
) →
γ
= gxθ(g
)θ. En particulier, à tout élément γ de ˜
G est associé un automorphisme
ad γ de G : si γ = xθ, ad γ = ad x ◦ θ, où ad x est la conjugaison par x. Dans cette
situation, la formule des traces ω-équivariante permet d’étudier les représentations
automorphes π de G(A F ) telles que π◦ad γ π⊗ω, où γ est un élément quelconque
de ˜
G(A F ). Elle se présente de la façon suivante. On fixe un ensemble fini V de
places de F , assez grand (contenant toutes les«mauvaises» places). On note F V le
produit des localisés F v pour v ∈ V . Pour f V ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )), on a une égalité
I
˜
G
g´ eom (ω, f V ) = I
˜
G
spec (ω, f V ),
le premier terme étant le côté «géométrique» de la formule et le second étant son
côté «spectral». Cette égalité a été établie par Arthur, cf. [8], à partir de la version
non-ω-équivariante démontrée dans le fameux «Morning Seminar». Celui-ci a été
enfin rédigé il y a quelques années par Labesse et l’un de ses collaborateurs [55].
Comme dans le cas local, on introduit la notion de donnée endoscopique de
(G, ˜
G, ω). Une telle donnée G
est un objet assez riche et détermine en tout cas
un groupe G
réductif connexe défini sur F et quasi-déployé et un espace tordu
˜
G
sur G
. Il n’y a plus de caractère et l’espace tordu ˜
G
est assez simple : la
torsion se fait par automorphismes intérieurs de G
. Cela étant, la stabilisation de
la formule des traces tordue se fait par récurrence sur la dimension de G selon le
schéma assez simple suivant. On considère d’abord le cas où G est quasi-déployé,
˜
G est «à torsion intérieure» et ω = 1 (comme on vient de le dire, ces conditions
sont remplies si l’on remplace la donnée de départ (G, ˜
G, ω) par celle issue d’une
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