xii
Table des matières
IX.6.2 Propriétés de l’application
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
. . . . . . . . . . . . . . 1092
IX.6.3 Propriétés de l’application Sθ
rat, ˜
G
˜
M
. . . . . . . . . . . . . . 1093
IX.6.4 Stabilité de l’application σ
˜
G
˜
M
. . . . . . . . . . . . . . . . . 1094
IX.6.5 Une variante des intégrales orbitales pondérées stables . . . 1094
IX.6.6 Les applications endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . 1094
IX.6.7 Egalité d’applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . 1096
IX.6.8 Propriétés de l’application θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
. . . . . . . . . . . . . 1096
IX.6.9 Egalité des fonctions ρ
K ˜
G
K ˜
M
et ρ
K ˜
G,E
K ˜
M
. . . . . . . . . . . . . 1099
IX.6.10 Variante des intégrales orbitales pondérées elliptiques . . . 1099
IX.6.11 Reformulation des énoncés dans le cas quasi-déployé
et à torsion intérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1100
IX.7 Les preuves des assertions de la section 6 . . . . . . . . . . . . . . . . 1101
IX.7.1 Lien entre les intégrales orbitales pondérées endoscopiques
et leurs variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101
IX.7.2 Relation entre les applications θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
,
c θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
,
c θ
K ˜
G,E
K ˜
M
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103
IX.7.3 Preuves des propositions 6.1, 6.5 et du lemme 6.4 . . . . . . 1105
IX.7.4 Preuve conditionnelle des propositions 6.7 et 6.10
et du lemme 6.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107
IX.7.5 Variante dans le cas quasi-déployé et à torsion
intérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1110
IX.8 L’application ˜
M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111
IX.8.1 Un lemme élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111
IX.8.2 Définition locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112
IX.8.3 Définition globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116
IX.8.4 Retour sur la formule des traces locale symétrique . . . . . 1118
IX.8.5 Stabilisation de la formule précédente . . . . . . . . . . . . 1124
IX.8.6 Version endoscopique de la proposition 8.4 . . . . . . . . . . 1127
IX.8.7 Expression de K ˜
M (f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129
IX.8.8 Description des fonctions ξ K ˜
R,˜ σ,H
. . . . . . . . . . . . . . 1135
IX.8.9 K-finitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1140
X Stabilisation spectrale
X.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145
X.2 Notations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148
X.3 Stabilisation de la formule des traces locales tordues . . . . . . . . . 1149
X.3.1
Le côté géométrique de la formule des traces locales . . . . 1149
X.3.2
Stabilisation du côté géométrique de la formule
des traces locales et stabilisation des intégrales
orbitales pondérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152
Table des matières
IX.6.2 Propriétés de l’application
c Sθ
rat, ˜
G
˜
M
. . . . . . . . . . . . . . 1092
IX.6.3 Propriétés de l’application Sθ
rat, ˜
G
˜
M
. . . . . . . . . . . . . . 1093
IX.6.4 Stabilité de l’application σ
˜
G
˜
M
. . . . . . . . . . . . . . . . . 1094
IX.6.5 Une variante des intégrales orbitales pondérées stables . . . 1094
IX.6.6 Les applications endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . 1094
IX.6.7 Egalité d’applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . 1096
IX.6.8 Propriétés de l’application θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
. . . . . . . . . . . . . 1096
IX.6.9 Egalité des fonctions ρ
K ˜
G
K ˜
M
et ρ
K ˜
G,E
K ˜
M
. . . . . . . . . . . . . 1099
IX.6.10 Variante des intégrales orbitales pondérées elliptiques . . . 1099
IX.6.11 Reformulation des énoncés dans le cas quasi-déployé
et à torsion intérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1100
IX.7 Les preuves des assertions de la section 6 . . . . . . . . . . . . . . . . 1101
IX.7.1 Lien entre les intégrales orbitales pondérées endoscopiques
et leurs variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101
IX.7.2 Relation entre les applications θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
,
c θ
rat,K ˜
G,E
K ˜
M
,
c θ
K ˜
G,E
K ˜
M
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103
IX.7.3 Preuves des propositions 6.1, 6.5 et du lemme 6.4 . . . . . . 1105
IX.7.4 Preuve conditionnelle des propositions 6.7 et 6.10
et du lemme 6.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107
IX.7.5 Variante dans le cas quasi-déployé et à torsion
intérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1110
IX.8 L’application ˜
M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111
IX.8.1 Un lemme élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111
IX.8.2 Définition locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112
IX.8.3 Définition globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116
IX.8.4 Retour sur la formule des traces locale symétrique . . . . . 1118
IX.8.5 Stabilisation de la formule précédente . . . . . . . . . . . . 1124
IX.8.6 Version endoscopique de la proposition 8.4 . . . . . . . . . . 1127
IX.8.7 Expression de K ˜
M (f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129
IX.8.8 Description des fonctions ξ K ˜
R,˜ σ,H
. . . . . . . . . . . . . . 1135
IX.8.9 K-finitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1140
X Stabilisation spectrale
X.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145
X.2 Notations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148
X.3 Stabilisation de la formule des traces locales tordues . . . . . . . . . 1149
X.3.1
Le côté géométrique de la formule des traces locales . . . . 1149
X.3.2
Stabilisation du côté géométrique de la formule
des traces locales et stabilisation des intégrales
orbitales pondérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152