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4 D´ ebruitage par m´ ethodes non lin´ eaires
Th´ eor` eme 4.3.4 La solution de (4.9 ) est donn´ ee par
u “ u d ´ P εK pu d q,
(4.11)
o` u P K est le projecteur orthogonal sur K.
Preuve. Nous avons vu que u est solution de (4.9) si et seulement si
u P J
˚
ˆ
u d ´ u
ε
˙
.
Comme J
˚ est l’indicatrice de K, en utilisant la proposition 1.4.1 on en d´ eduit
que pour tout c ą 0
u “ c
„
u d ´ u
ε
`
u
c
´ P K
ˆ
u d ´ u
ε
`
u
c
˙j
.
Le choix de c “ ε conduit au r´ esultat car εP K
´ u d
ε
¯
“ P εK pu d q .
l
Tout revient maintenant ` a calculer u ε :“ P εK pu d q “ div p ε o` u
p ε “ argmin t }ε div ppq ´ u d }
2
X | |p i,j | 2 ď 1, i, j “ 1, ¨ ¨ ¨ , N u. (4.12)
4.3.3.1 Algorithme de Chambolle [26]
On peut calculer P εK pu d q en r´ esolvant le probl` eme (4.12). Une m´ ethode
de descente de gradient semi-implicite conduit ` a l’algorithme suivant :
Algorithme 1 Algorithme de Chambolle
Initialisation : n “ 0 ; p 0 “ 0
It´ eration n : on pose
p
n`1
i,j “
p n
i,j ` ρ p∇rdiv p n ´ u d {εsq i,j
1 ` ρ
ˇ
ˇ
ˇp∇rdiv p n ´ u d {εsq i,j
ˇ
ˇ
ˇ
.
Stop si un crit` ere d’arrˆ et est satisfait.
Th´ eor` eme 4.3.5 Si le param` etre ρ v´ erifie ρ ď 1{8, alors ε div p
n
Ñ
P εK pu d q.
La solution du probl` eme est alors donn´ ee par
u “ u d ´ ε div p
8 o` u p
8
“ lim
nÑ`8
p
n .