4.3 M´ ethodes variationnelles
75
avec
p∇uq
1
i,j “
"
u i`1,j ´ u i,j si i ă N
0
s ii “ N
, p∇uq
2
i,j “
"
u i,j`1 ´ u i,j si j ă M
0
s ij “ M
(4.7)
La variation totale discr` ete est alors donn´ ee par la norme
1 du gradient
discret :
Jpuq “
ÿ
1ďiďN
ÿ
1ďjďM
|p∇uq i,j | 2 ,
(4.8)
o` u |p∇uq i,j | 2 “
b
|p∇uq 1
i,j | 2 ` |p∇uq 2
i,j | 2 . On introduit ´ egalement une version
discr` ete de l’op´ erateur de divergence d´ efini par analogie avec le cadre continu
en posant
div “ ´∇
˚ ,
o` u ∇
˚ est l’op´ erateur adjoint de ∇, c’est-` a-dire
@p P Y, @u P X
x´div p, uy X “ xp, ∇uy Y “ xp
1 , ∇
1 uy X ` xp
2 , ∇
2 uy X .
On peut alors v´ erifier que la divergence discr` ete est donn´ ee par la relation
(3.7) p. 58. On utilisera aussi une version discr` ete du laplacien d´ efinie par
Δu “ div p∇uq.
On va remplacer le probl` eme pP ROF q par le probl` eme obtenu apr` es discr´ etisation suivant
min
uPX
1
2
}u ´ u d }
2
X ` εJpuq.
(4.9)
Il est facile de voir que ce probl` eme a une solution unique que nous allons
caract´ eriser. On rappelle que |g i,j | 2 “
b
pg 1
i,j q 2 ` pg 2
i,j q 2 et que la version
discr` ete de la variation totale est donn´ ee (de mani` ere analogue au cas continu)
par
Jpuq “ sup
ξPK
xu, ξy X .
o` u
K :“ tξ “ div pgq | g P Y, |g i,j | 2 ď 1, @pi, jq P t1, ¨ ¨ ¨ , Nu ˆ t1, ¨ ¨ ¨ , Mu u,
(4.10)
est la version discr` ete de K :“
ξ “ div ϕ | ϕ P C
1
c pΩ, R
2
q, }ϕ} 8 ď 1
(
. Nous
pouvons, comme dans le cas de la dimension infinie donner la caract´ erisation
de la conjugu´ ee de Legendre-Fenchel de J (la d´ emonstration est analogue).
Th´ eor` eme 4.3.3 La transform´ ee de Legendre-Fenchel J
˚ de la fonctionnelle
variation totale discr` ete d´ efinie J sur X, est l’indicatrice de l’ensemble ¯
K,
o` u K est donn´ e par (4.10).
Le r´ esultat suivant donne la caract´ erisation attendue de la solution [26] :
75
avec
p∇uq
1
i,j “
"
u i`1,j ´ u i,j si i ă N
0
s ii “ N
, p∇uq
2
i,j “
"
u i,j`1 ´ u i,j si j ă M
0
s ij “ M
(4.7)
La variation totale discr` ete est alors donn´ ee par la norme
1 du gradient
discret :
Jpuq “
ÿ
1ďiďN
ÿ
1ďjďM
|p∇uq i,j | 2 ,
(4.8)
o` u |p∇uq i,j | 2 “
b
|p∇uq 1
i,j | 2 ` |p∇uq 2
i,j | 2 . On introduit ´ egalement une version
discr` ete de l’op´ erateur de divergence d´ efini par analogie avec le cadre continu
en posant
div “ ´∇
˚ ,
o` u ∇
˚ est l’op´ erateur adjoint de ∇, c’est-` a-dire
@p P Y, @u P X
x´div p, uy X “ xp, ∇uy Y “ xp
1 , ∇
1 uy X ` xp
2 , ∇
2 uy X .
On peut alors v´ erifier que la divergence discr` ete est donn´ ee par la relation
(3.7) p. 58. On utilisera aussi une version discr` ete du laplacien d´ efinie par
Δu “ div p∇uq.
On va remplacer le probl` eme pP ROF q par le probl` eme obtenu apr` es discr´ etisation suivant
min
uPX
1
2
}u ´ u d }
2
X ` εJpuq.
(4.9)
Il est facile de voir que ce probl` eme a une solution unique que nous allons
caract´ eriser. On rappelle que |g i,j | 2 “
b
pg 1
i,j q 2 ` pg 2
i,j q 2 et que la version
discr` ete de la variation totale est donn´ ee (de mani` ere analogue au cas continu)
par
Jpuq “ sup
ξPK
xu, ξy X .
o` u
K :“ tξ “ div pgq | g P Y, |g i,j | 2 ď 1, @pi, jq P t1, ¨ ¨ ¨ , Nu ˆ t1, ¨ ¨ ¨ , Mu u,
(4.10)
est la version discr` ete de K :“
ξ “ div ϕ | ϕ P C
1
c pΩ, R
2
q, }ϕ} 8 ď 1
(
. Nous
pouvons, comme dans le cas de la dimension infinie donner la caract´ erisation
de la conjugu´ ee de Legendre-Fenchel de J (la d´ emonstration est analogue).
Th´ eor` eme 4.3.3 La transform´ ee de Legendre-Fenchel J
˚ de la fonctionnelle
variation totale discr` ete d´ efinie J sur X, est l’indicatrice de l’ensemble ¯
K,
o` u K est donn´ e par (4.10).
Le r´ esultat suivant donne la caract´ erisation attendue de la solution [26] :