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4 D´ ebruitage par m´ ethodes non lin´ eaires
Supposons maintenant qu’il existe u
˚
P ˜
K tel que u
˚
R ¯
K. On peut alors
s´ eparer strictement u
˚ et le convexe ferm´ e ¯
K. Il existe α P R et u o tels que
xu o , u
˚
q ą α ě sup
vP ¯
K
xu o , vy .
D’apr` es (4.6) il vient
sup
ξP ˜
K
xu o , ξy ě xu o , u
˚
y ą α ě sup
vP ¯
K
xu o , vy “ sup
vP ˜
K
xu o , vy .
On a donc une contradiction : ˜
K “ ¯
K.
l
D’apr` es la d´ efinition du sous-diff´ erentiel (voir annexe, D´ efinition 1.4.3, p.199),
u est une solution de pP ROF q si et seulement si
0 P B
ˆ
Φpuq `
1
2ε
}u ´ u d }
2
2
˙
“
u ´ u d
ε
` BΦpuq.
Comme Φ est convexe, semi-continue inf´ erieurement et propre on peut appliquer le corollaire 1.4.3. Donc
u d ´ u
ε
P BΦpuq ðñ u P BΦ
˚
p
u d ´ u
ε
q ðñ 0 P ´u ` BΦ
˚
p
u d ´ u
ε
q.
Nous voulons appliquer la proposition 1.4.1 qui fait intervenir la notion de
projection qui n’est d´ efinie que dans le cadre hilbertien. Nous allons donc
calculer BΦ
˚
puq une fois le probl` eme discr´ etis´ e : le cadre fonctionnel est alors
hilbertien, puisque que l’espace de travail est de dimension finie.
4.3.3 Mod` ele discret de Rudin-Osher-Fatemi
On va maintenant consid´ erer des images discr` etes (ce qui est le cas en
pratique). Une image discr` ete est un tableau N ˆ M que nous identifierons
` a une vecteur de taille NM (par exemple en la rangeant ligne par ligne). On
note X l’espace euclidien R
N ˆM et Y “ X ˆ X. On munit X du produit
scalaire usuel
xu, vy X “
ÿ
1ďiďN
ÿ
1ďjďM
u ij v ij ,
et de la norme associ´ ee : } ¨ } X .
Nous allons donner une formulation discr` ete de ce qui a ´ et´ e fait auparavant
et en particulier d´ efinir une variation totale discr` ete que nous noterons J.
Pour cela nous introduisons une version discr` ete de l’op´ erateur gradient. Si
u P X, le gradient ∇u est un vecteur de Y donn´ e par
p∇uq i,j “ pp∇uq
1
i,j , p∇uq
2
i,j q,
4 D´ ebruitage par m´ ethodes non lin´ eaires
Supposons maintenant qu’il existe u
˚
P ˜
K tel que u
˚
R ¯
K. On peut alors
s´ eparer strictement u
˚ et le convexe ferm´ e ¯
K. Il existe α P R et u o tels que
xu o , u
˚
q ą α ě sup
vP ¯
K
xu o , vy .
D’apr` es (4.6) il vient
sup
ξP ˜
K
xu o , ξy ě xu o , u
˚
y ą α ě sup
vP ¯
K
xu o , vy “ sup
vP ˜
K
xu o , vy .
On a donc une contradiction : ˜
K “ ¯
K.
l
D’apr` es la d´ efinition du sous-diff´ erentiel (voir annexe, D´ efinition 1.4.3, p.199),
u est une solution de pP ROF q si et seulement si
0 P B
ˆ
Φpuq `
1
2ε
}u ´ u d }
2
2
˙
“
u ´ u d
ε
` BΦpuq.
Comme Φ est convexe, semi-continue inf´ erieurement et propre on peut appliquer le corollaire 1.4.3. Donc
u d ´ u
ε
P BΦpuq ðñ u P BΦ
˚
p
u d ´ u
ε
q ðñ 0 P ´u ` BΦ
˚
p
u d ´ u
ε
q.
Nous voulons appliquer la proposition 1.4.1 qui fait intervenir la notion de
projection qui n’est d´ efinie que dans le cadre hilbertien. Nous allons donc
calculer BΦ
˚
puq une fois le probl` eme discr´ etis´ e : le cadre fonctionnel est alors
hilbertien, puisque que l’espace de travail est de dimension finie.
4.3.3 Mod` ele discret de Rudin-Osher-Fatemi
On va maintenant consid´ erer des images discr` etes (ce qui est le cas en
pratique). Une image discr` ete est un tableau N ˆ M que nous identifierons
` a une vecteur de taille NM (par exemple en la rangeant ligne par ligne). On
note X l’espace euclidien R
N ˆM et Y “ X ˆ X. On munit X du produit
scalaire usuel
xu, vy X “
ÿ
1ďiďN
ÿ
1ďjďM
u ij v ij ,
et de la norme associ´ ee : } ¨ } X .
Nous allons donner une formulation discr` ete de ce qui a ´ et´ e fait auparavant
et en particulier d´ efinir une variation totale discr` ete que nous noterons J.
Pour cela nous introduisons une version discr` ete de l’op´ erateur gradient. Si
u P X, le gradient ∇u est un vecteur de Y donn´ e par
p∇uq i,j “ pp∇uq
1
i,j , p∇uq
2
i,j q,