4.3 M´ ethodes variationnelles
73
p. 333). Ici F
˚ d´ esigne la conjugu´ ee de Fenchel de F (la d´ efinition et les
propri´ et´ es de cette conjugu´ ee sont donn´ ees en annexe, section A.4.3.1).
On peut utiliser le Th´ eor` eme 1.4.4 pour calculer BFpuq. L’application u Þ Ñ
}u ´ u d }
2
2 est continue sur L
2
pΩq et Φ est (convexe) ` a valeurs dans R Y t`8u
et finie sur BV pΩq. D’autre part u Þ Ñ }u ´ u d }
2
2 est Gˆ ateaux-diff´ erentiable
sur L
2
pΩq. Comme nous allons utiliser la dualit´ e (convexe) nous devons dans
un premier temps calculer la conjugu´ ee de Legendre-Fenchel de Φ.
Th´ eor` eme 4.3.2 La transform´ ee de Legendre-Fenchel Φ
˚ de la variation
totale Φ est l’indicatrice de l’adh´ erence (dans L
2
pΩq) de l’ensemble K, o` u
K :“
ξ “ divϕ | ϕ P C
1
c pΩ, R
2
q, }ϕ} 8 ď 1
(
.
Preuve. La d´ efinition de l’indicatrice est donn´ ee en annexe
p. 200.
Comme Φ est positivement homog` ene la conjugu´ ee Φ
˚ de Φ est l’indicatrice d’un ensemble convexe ˜
K ferm´ e dans le dual de BV pΩq (Proposition
1.4.3). Comme L
2
pΩq s’injecte continˆ ument dans BV pΩq (Th´ eor` eme 1.6.7),
le dual de BV pΩq s’injecte continˆ ument dans L
2
pΩq (espace pivot). Donc ˜
K
est ferm´ e dans L
2
pΩq.
Montrons d’abord que K Ă ˜
K : soit u P K. Par d´ efinition de Φ
Φpuq “ sup
ξPK
xξ, uy ,
(4.5)
o` u x¨, ¨y d´ esigne le produit scalaire de L
2
pΩq. Par cons´ equent xξ, uy´Φpuq ď 0
pour tous ξ P K et u P L
2
pΩq (Notons que si u P L
2
pΩqzBV pΩq alors
Φpuq “ `8 par d´ efinition de BV pΩq). On d´ eduit donc que pour tout u
˚
P K
Φ
˚
pu
˚
q “ sup
uPL 2 pΩq
xu
˚ , uy ´ Φpuq “ sup
uPBV pΩq
xu
˚ , uy ´ Φpuq ď 0.
Comme Φ
˚ ne prend qu’une seule valeur finie on a Φ
˚
pu
˚
q “ 0, et donc
u
˚
P ˜
K. Par cons´ equent K Ă ˜
K et comme ˜
K est ferm´ e :
¯
K Ă ˜
K.
En particulier
Φpuq “ sup
ξPK
xu, ξy ď sup
ξP ¯
K
xu, ξy ď sup
ξP ˜
K
xu, ξy “ sup
ξP ˜
K
xu, ξy ´ Φ
˚
pξq “ Φ
˚˚
puq.
Comme Φ
˚˚
“ Φ, il vient
sup
ξPK
xu, ξy ď sup
ξP ˜
K
xu, ξy ď sup
ξPK
xu, ξy ,
et donc
sup
ξPK
xu, ξy “ sup
ξP ¯
K
xu, ξy “ sup
ξP ˜
K
xu, ξy .
(4.6)
A.4.3
73
p. 333). Ici F
˚ d´ esigne la conjugu´ ee de Fenchel de F (la d´ efinition et les
propri´ et´ es de cette conjugu´ ee sont donn´ ees en annexe, section A.4.3.1).
On peut utiliser le Th´ eor` eme 1.4.4 pour calculer BFpuq. L’application u Þ Ñ
}u ´ u d }
2
2 est continue sur L
2
pΩq et Φ est (convexe) ` a valeurs dans R Y t`8u
et finie sur BV pΩq. D’autre part u Þ Ñ }u ´ u d }
2
2 est Gˆ ateaux-diff´ erentiable
sur L
2
pΩq. Comme nous allons utiliser la dualit´ e (convexe) nous devons dans
un premier temps calculer la conjugu´ ee de Legendre-Fenchel de Φ.
Th´ eor` eme 4.3.2 La transform´ ee de Legendre-Fenchel Φ
˚ de la variation
totale Φ est l’indicatrice de l’adh´ erence (dans L
2
pΩq) de l’ensemble K, o` u
K :“
ξ “ divϕ | ϕ P C
1
c pΩ, R
2
q, }ϕ} 8 ď 1
(
.
Preuve. La d´ efinition de l’indicatrice est donn´ ee en annexe
p. 200.
Comme Φ est positivement homog` ene la conjugu´ ee Φ
˚ de Φ est l’indicatrice d’un ensemble convexe ˜
K ferm´ e dans le dual de BV pΩq (Proposition
1.4.3). Comme L
2
pΩq s’injecte continˆ ument dans BV pΩq (Th´ eor` eme 1.6.7),
le dual de BV pΩq s’injecte continˆ ument dans L
2
pΩq (espace pivot). Donc ˜
K
est ferm´ e dans L
2
pΩq.
Montrons d’abord que K Ă ˜
K : soit u P K. Par d´ efinition de Φ
Φpuq “ sup
ξPK
xξ, uy ,
(4.5)
o` u x¨, ¨y d´ esigne le produit scalaire de L
2
pΩq. Par cons´ equent xξ, uy´Φpuq ď 0
pour tous ξ P K et u P L
2
pΩq (Notons que si u P L
2
pΩqzBV pΩq alors
Φpuq “ `8 par d´ efinition de BV pΩq). On d´ eduit donc que pour tout u
˚
P K
Φ
˚
pu
˚
q “ sup
uPL 2 pΩq
xu
˚ , uy ´ Φpuq “ sup
uPBV pΩq
xu
˚ , uy ´ Φpuq ď 0.
Comme Φ
˚ ne prend qu’une seule valeur finie on a Φ
˚
pu
˚
q “ 0, et donc
u
˚
P ˜
K. Par cons´ equent K Ă ˜
K et comme ˜
K est ferm´ e :
¯
K Ă ˜
K.
En particulier
Φpuq “ sup
ξPK
xu, ξy ď sup
ξP ¯
K
xu, ξy ď sup
ξP ˜
K
xu, ξy “ sup
ξP ˜
K
xu, ξy ´ Φ
˚
pξq “ Φ
˚˚
puq.
Comme Φ
˚˚
“ Φ, il vient
sup
ξPK
xu, ξy ď sup
ξP ˜
K
xu, ξy ď sup
ξPK
xu, ξy ,
et donc
sup
ξPK
xu, ξy “ sup
ξP ¯
K
xu, ξy “ sup
ξP ˜
K
xu, ξy .
(4.6)
A.4.3