72
4 D´ ebruitage par m´ ethodes non lin´ eaires
la variation totale n’est autre que Φpuq “ }∇u} 1 . Ici } ¨ } p d´ esigne la norme
usuelle de L
p
pΩ).
Th´ eor` eme 4.3.1 Le probl` eme pP ROF q admet une solution unique.
Preuve. Soit pu n , v n q P BV pΩq ˆ L
2
pΩq une suite minimisante. Comme v n
est born´ ee dans L
2
pΩq on peut en extraire une sous-suite (not´ ee de la mˆ eme
fa¸ con) faiblement convergente vers v
˚ dans L
2
pΩq. Comme la norme de L
2
pΩq
est convexe, semi-continue inf´ erieurement, il vient
}v
˚
}
2
2 ď lim inf
nÑ`8
}v n }
2
2 .
De la mˆ eme fa¸ con u n “ u d ´ v n est born´ ee dans L
2
pΩq et donc dans L
1
pΩq
puisque Ω est born´ e. Comme Φpu n q est born´ e, il s’ensuit que u n est born´ ee
dans BV pΩq. Grˆ ace ` a la compacit´ e de l’injection de BV pΩq dans L
1
pΩq (voir
Th´ eor` eme 1.6.6 et/ou [6, 78]), cela entraˆ ıne que u n converge (` a une sous-suite
pr` es) fortement dans L
1
pΩq vers u
˚
P BV pΩq.
D’autre part Φ est semi-continue inf´ erieurement (Th´ eor` eme 1.6.3), donc
Φpu
˚
q ď lim inf
nÑ`8
Φpu n q,
et finalement
Φpu
˚
q `
1
2ε
}v
˚
}
2
2 ď lim inf
nÑ`8
Φpu n q `
1
2ε
}v n }
2
2 “ infpP ROF q.
Comme u n ` v n “ u d pour tout n, on a u
˚
` v
˚
“ u d . Par cons´ equent u
˚ est
une solution du probl` eme pP ROF q.
La fonctionnelle est strictement convexe par rapport au couple pu, vq et la
contrainte est affine. On a donc unicit´ e.
l
Nous aurons besoin d’´ etablir des conditions d’optimalit´ e pour la ou les
solutions optimales des mod` eles propos´ es. Toutefois les fonctionnelles consid´ er´ ees (en particulier Φ) ne sont en g´ en´ eral pas Gˆ ateaux-diff´ erentiables et nous
devons utiliser des notions d’analyse non lisse (voir annexe A.4).
4.3.2.3 Condition d’optimalit´ e du premier ordre
Le probl` eme pP ROF q peut s’´ ecrire de la mani` ere (´ equivalente) suivante
min
uPBV pΩq
Fpuq :“ Φpuq `
1
2ε
}u ´ u d }
2
2 .
(4.4)
La fonctionnelle F est convexe et ¯
u est solution de pP ROF q si et seulement
si 0 P BFp¯ uq. La relation : 0 P BFp¯ uq ðñ ¯
u P BF
˚
p0q, est vraie mˆ eme
si l’espace n’est pas r´ eflexif (voir Corollaire 1.4.3 et/ou [6] Th´ eor` eme 9.5.1
4 D´ ebruitage par m´ ethodes non lin´ eaires
la variation totale n’est autre que Φpuq “ }∇u} 1 . Ici } ¨ } p d´ esigne la norme
usuelle de L
p
pΩ).
Th´ eor` eme 4.3.1 Le probl` eme pP ROF q admet une solution unique.
Preuve. Soit pu n , v n q P BV pΩq ˆ L
2
pΩq une suite minimisante. Comme v n
est born´ ee dans L
2
pΩq on peut en extraire une sous-suite (not´ ee de la mˆ eme
fa¸ con) faiblement convergente vers v
˚ dans L
2
pΩq. Comme la norme de L
2
pΩq
est convexe, semi-continue inf´ erieurement, il vient
}v
˚
}
2
2 ď lim inf
nÑ`8
}v n }
2
2 .
De la mˆ eme fa¸ con u n “ u d ´ v n est born´ ee dans L
2
pΩq et donc dans L
1
pΩq
puisque Ω est born´ e. Comme Φpu n q est born´ e, il s’ensuit que u n est born´ ee
dans BV pΩq. Grˆ ace ` a la compacit´ e de l’injection de BV pΩq dans L
1
pΩq (voir
Th´ eor` eme 1.6.6 et/ou [6, 78]), cela entraˆ ıne que u n converge (` a une sous-suite
pr` es) fortement dans L
1
pΩq vers u
˚
P BV pΩq.
D’autre part Φ est semi-continue inf´ erieurement (Th´ eor` eme 1.6.3), donc
Φpu
˚
q ď lim inf
nÑ`8
Φpu n q,
et finalement
Φpu
˚
q `
1
2ε
}v
˚
}
2
2 ď lim inf
nÑ`8
Φpu n q `
1
2ε
}v n }
2
2 “ infpP ROF q.
Comme u n ` v n “ u d pour tout n, on a u
˚
` v
˚
“ u d . Par cons´ equent u
˚ est
une solution du probl` eme pP ROF q.
La fonctionnelle est strictement convexe par rapport au couple pu, vq et la
contrainte est affine. On a donc unicit´ e.
l
Nous aurons besoin d’´ etablir des conditions d’optimalit´ e pour la ou les
solutions optimales des mod` eles propos´ es. Toutefois les fonctionnelles consid´ er´ ees (en particulier Φ) ne sont en g´ en´ eral pas Gˆ ateaux-diff´ erentiables et nous
devons utiliser des notions d’analyse non lisse (voir annexe A.4).
4.3.2.3 Condition d’optimalit´ e du premier ordre
Le probl` eme pP ROF q peut s’´ ecrire de la mani` ere (´ equivalente) suivante
min
uPBV pΩq
Fpuq :“ Φpuq `
1
2ε
}u ´ u d }
2
2 .
(4.4)
La fonctionnelle F est convexe et ¯
u est solution de pP ROF q si et seulement
si 0 P BFp¯ uq. La relation : 0 P BFp¯ uq ðñ ¯
u P BF
˚
p0q, est vraie mˆ eme
si l’espace n’est pas r´ eflexif (voir Corollaire 1.4.3 et/ou [6] Th´ eor` eme 9.5.1