4.3 M´ ethodes variationnelles
71
(a) Discontinuit´ e
(b) Fonction r´ egularisante
(affine)
(c) Primitive : |x|
(d) Primitive : x 2
Fig. 4.5 R´ egularisation }x} versus }x} 2
4.3.2.2 Pr´ esentation
Une alternative `
a la r´ egularisation de Tychonov (qui est trop brutale)
consiste donc `
a remplacer le terme de r´ egularisation }∇u}
2
2 (qui est en r´ ealit´ e
une p´ enalisation par une norme H
1
0 ), par une norme moins contraignante et
r´ egularisante. Rudin, Osher et Fatemi [76] ont propos´ e un mod` ele o` u l’image
est d´ ecompos´ ee en deux parties : u d “ u ` v o` u v est le bruit et u la partie
r´ eguli` ere. On va donc a priori chercher la solution du probl` eme sous la forme
u ` v avec u P BV pΩq et v P L
2
pΩq. Cela conduit ` a :
pP ROF q
min
"
1
2
}v}
2
2 ` εΦpuq | u P BV pΩq, v P L
2
pΩq, u ` v “ u d
*
.
Ici le terme de r´ egularisation est Φpuq la variation totale de u et ε ą 0. Les
d´ efinitions de la variation totale et de l’espace BV pΩq sont en annexe A.6 p.
207.
Notons que lorsque la fonction u est dans
W
1,1
pΩq “ t u P L
1
pΩq | ∇u P L
1
pΩq upĂ BV pΩqq,