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4 D´ ebruitage par m´ ethodes non lin´ eaires
` a prendre Lpuq “
ş |Du|. Nous allons pr´ eciser la d´ efinition dans la section
suivante.
Cela conduit `
a une minimisation de fonctionnelle dans un espace de Banach
particulier, mais bien adapt´ e au probl` eme : l’espace des fonctions `
a variation
born´ ee : BV pΩq (voir Annexe A.6).
4.3.2 Le mod` ele continu de Rudin-Osher-Fatemi
4.3.2.1 Heuristique
Nous allons tout d’abord motiver le mod` ele qui suit. Dans le cadre discret,
il consiste `
a remplacer le carr´ e de la norme du gradient de l’image par la
norme (` a la puissance 1). Le mod` ele continu que nous pr´ esentons dans la soussection suivante est la formalisation math´ ematique rigoureuse du changement
de norme dans le terme de r´ egularisation.
Rappelons que nous souhaitons d´ ebruiter tout en conservant les contours
de l’image c’est-` a-dire les discontinuit´ es de la fonction d´ ecrivant l’image.
Pla¸ cons nous dans le cas unidimensionnel, par exemple en prenant une coupe
de l’image ci dessous.
Fig. 4.4 Image test originale et image liss´ ee
Le contour noir/blanc correspond `
a la discontinuit´ e sur l’image originale.
Sur l’image liss´ ee la discontinuit´ e est r´ egularis´ ee par une fonction affine. Le
gradient de l’image ´ etant la quantit´ e d´ ecrivant les contours, le choix du terme
de r´ egularisation se fait en prenant une primitive. On voit alors que la norme
(en 1D la valeur absolue) est pr´ ef´ erable au choix de la norme au carr´ e (en 1D
la fonction x Þ Ñ x
2 ).
4 D´ ebruitage par m´ ethodes non lin´ eaires
` a prendre Lpuq “
ş |Du|. Nous allons pr´ eciser la d´ efinition dans la section
suivante.
Cela conduit `
a une minimisation de fonctionnelle dans un espace de Banach
particulier, mais bien adapt´ e au probl` eme : l’espace des fonctions `
a variation
born´ ee : BV pΩq (voir Annexe A.6).
4.3.2 Le mod` ele continu de Rudin-Osher-Fatemi
4.3.2.1 Heuristique
Nous allons tout d’abord motiver le mod` ele qui suit. Dans le cadre discret,
il consiste `
a remplacer le carr´ e de la norme du gradient de l’image par la
norme (` a la puissance 1). Le mod` ele continu que nous pr´ esentons dans la soussection suivante est la formalisation math´ ematique rigoureuse du changement
de norme dans le terme de r´ egularisation.
Rappelons que nous souhaitons d´ ebruiter tout en conservant les contours
de l’image c’est-` a-dire les discontinuit´ es de la fonction d´ ecrivant l’image.
Pla¸ cons nous dans le cas unidimensionnel, par exemple en prenant une coupe
de l’image ci dessous.
Fig. 4.4 Image test originale et image liss´ ee
Le contour noir/blanc correspond `
a la discontinuit´ e sur l’image originale.
Sur l’image liss´ ee la discontinuit´ e est r´ egularis´ ee par une fonction affine. Le
gradient de l’image ´ etant la quantit´ e d´ ecrivant les contours, le choix du terme
de r´ egularisation se fait en prenant une primitive. On voit alors que la norme
(en 1D la valeur absolue) est pr´ ef´ erable au choix de la norme au carr´ e (en 1D
la fonction x Þ Ñ x
2 ).