4.3 M´ ethodes variationnelles
69
lim
αÑ0
N α pu α q “ N 0 p˜ uq “ infpPq.
Par semi-continuit´ e inf´ erieure de N 0 il vient (corollaire 1.3.1)
N 0 pu
˚
q ď lim inf
αÑ0
N 0 pu α q “ lim inf
αÑ0
N α pu α q ď infpPq.
Par cons´ equent u
˚ est une solution de pPq.
l
Cherchons maintenant le moyen de calculer u α . Comme la fonctionnelle est
strictement convexe, une condition n´ ecessaire et suffisante d’optimalit´ e est
∇N α pu α q “ 0.
Un calcul assez standard montre que
@u P V
1
2
x∇N α pu α q, uy “
ż
Ω
pu α ´ u d qpxqupxqdx ` α
ż
Ω
∇u α pxq∇upxqdx
“
ż
Ω
pu α ´ u d ´ αΔu α qpxqupxqdx.
Par cons´ equent l’´ equation d’Euler qui fournit la solution u α est la suivante :
u α ´ u d ´ αΔu α “ 0, u α P H
1
pΩq.
On peut se contenter d’approcher la solution u α en ´ ecrivant la formulation
dynamique
Bu
Bt
´ αΔu ` u “ u d ,
coupl´ ee ` a des conditions aux limites de Dirichlet (on peut prendre V “
H
1
0 pΩq) et une condition initiale ad-hoc.
Remarque 4.3.1 L’approche dynamique revient ici ` a calculer une suite minimisante par une m´ ethode de descente de gradient : en effet, l’algorithme du
gradient ` a pas constant donne
u t`δt ´ u t
δ t
“ ´∇N α pu t q;
Par passage ` a la limite quand δt Ñ 0, on obtient
Bu
Bt
“ ´∇N α puq “ αΔu ´ u ` u d .
Le terme de r´ egularisation classique Lpuq :“ }∇u}
2
2 ( r´ egularisation de Tychonov) n’est pas adapt´ e au probl` eme de restauration d’images : l’image
restaur´ ee u est alors beaucoup trop liss´ ee car le Laplacien est un op´ erateur
de diffusion isotrope. En particulier, les bords sont ´ erod´ es. Une approche
beaucoup plus efficace consiste `
a consid´ erer la variation totale, c’est ` a dire