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4 D´ ebruitage par m´ ethodes non lin´ eaires
lim
nÑ`8
}u n } V “ `8 et lim
nÑ`8
N 0 pu n q “ 0.
Il n’est donc mˆ eme pas clair (a priori) que le probl` eme pPq ait une solution.
On introduit alors le probl` eme r´ egularis´ e suivant (dont la fonctionnelle coˆ ut
est maintenant coercive sur V ) : pour tout α ą 0
pP α q
min
uPV
}u ´ u d }
2
H ` α}∇u}
2
H .
On veut non seulement ajuster u ` a la donn´ ee u d , mais imposer ´ egalement
que le gradient soit ! assez petit " (cela d´ epend du param` etre α). On peut
d’ores et d´ ej` a intuiter qu’une solution sera r´ eguli` ere (dans l’espace V ) et aura
de faibles variations et donc des contours peu marqu´ es. Nous allons pr´ eciser
cela.
Proposition 4.3.1 Le probl` eme pP α q admet une solution unique u α pour
tout α ą 0.
De plus, si on suppose que pPq admet au moins une solution, alors on peut
extraire de la famille pu α q, une sous-suite qui converge (faiblement ) dans V
vers une solution u
˚ de pPq lorsque α Ñ 0.
Preuve. Le probl` eme pP α q admet une solution unique u α car la fonctionnelle
u Þ Ñ N α puq “ }u ´ u d }
2
H ` α}∇u}
2
H ,
est coercive, continue de V dans R et strictement convexe (c’est la norme de
V ` a une partie affine pr` es) (Th´ eor` eme 1.3.10, annexe A.3.4).
Montrons maintenant que la famille pu α q 0ăαďα 0 est born´ ee dans V uniform´ ement par rapport ` a α ď α 0 (o` u α 0 ą 0 est fix´ e arbitrairement).
@u P V
N α pu α q ď N α puq.
On a suppos´ e que pPq poss` ede au moins une solution ˜
u. Donc
N p˜ uq ď N pu α q
loooooooomoooooooon
˜
u solution de pPq
ď N α pu α q “ N 0 pu α q ` α}∇u α }
2
H ď N α p˜ uq
loooooooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooooooon
u α solution de pP α q
“ N 0 p˜ uq ` α}∇˜ u}
2
H .
(4.3)
Par cons´ equent, pour tout α ď α o , N α pu α q est born´ e ind´ ependamment de
α. Ceci entraˆ ıne que la famille pu α q 0ăαďα o est born´ ee dans H. De plus, avec
la relation (4.3) on a aussi
α}∇u α }
2
H ď N 0 p˜ uq`α}∇˜ u}
2
H ´N 0 pu α q ď N 0 p˜ uq`α}∇˜ u}
2
H ´N 0 p˜ uq “ α}∇˜ u}
2
H .
Par cons´ equent la famille pu α q 0ăαďα o est ´ egalement born´ ee dans V et on
peut donc en extraire une sous-suite qui converge (faiblement) dans V vers
u
˚ (th´ eor` eme 1.3.6, annexe A.3.1). D’autre part l’´ equation (4.3) montre que
4 D´ ebruitage par m´ ethodes non lin´ eaires
lim
nÑ`8
}u n } V “ `8 et lim
nÑ`8
N 0 pu n q “ 0.
Il n’est donc mˆ eme pas clair (a priori) que le probl` eme pPq ait une solution.
On introduit alors le probl` eme r´ egularis´ e suivant (dont la fonctionnelle coˆ ut
est maintenant coercive sur V ) : pour tout α ą 0
pP α q
min
uPV
}u ´ u d }
2
H ` α}∇u}
2
H .
On veut non seulement ajuster u ` a la donn´ ee u d , mais imposer ´ egalement
que le gradient soit ! assez petit " (cela d´ epend du param` etre α). On peut
d’ores et d´ ej` a intuiter qu’une solution sera r´ eguli` ere (dans l’espace V ) et aura
de faibles variations et donc des contours peu marqu´ es. Nous allons pr´ eciser
cela.
Proposition 4.3.1 Le probl` eme pP α q admet une solution unique u α pour
tout α ą 0.
De plus, si on suppose que pPq admet au moins une solution, alors on peut
extraire de la famille pu α q, une sous-suite qui converge (faiblement ) dans V
vers une solution u
˚ de pPq lorsque α Ñ 0.
Preuve. Le probl` eme pP α q admet une solution unique u α car la fonctionnelle
u Þ Ñ N α puq “ }u ´ u d }
2
H ` α}∇u}
2
H ,
est coercive, continue de V dans R et strictement convexe (c’est la norme de
V ` a une partie affine pr` es) (Th´ eor` eme 1.3.10, annexe A.3.4).
Montrons maintenant que la famille pu α q 0ăαďα 0 est born´ ee dans V uniform´ ement par rapport ` a α ď α 0 (o` u α 0 ą 0 est fix´ e arbitrairement).
@u P V
N α pu α q ď N α puq.
On a suppos´ e que pPq poss` ede au moins une solution ˜
u. Donc
N p˜ uq ď N pu α q
loooooooomoooooooon
˜
u solution de pPq
ď N α pu α q “ N 0 pu α q ` α}∇u α }
2
H ď N α p˜ uq
loooooooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooooooon
u α solution de pP α q
“ N 0 p˜ uq ` α}∇˜ u}
2
H .
(4.3)
Par cons´ equent, pour tout α ď α o , N α pu α q est born´ e ind´ ependamment de
α. Ceci entraˆ ıne que la famille pu α q 0ăαďα o est born´ ee dans H. De plus, avec
la relation (4.3) on a aussi
α}∇u α }
2
H ď N 0 p˜ uq`α}∇˜ u}
2
H ´N 0 pu α q ď N 0 p˜ uq`α}∇˜ u}
2
H ´N 0 p˜ uq “ α}∇˜ u}
2
H .
Par cons´ equent la famille pu α q 0ăαďα o est ´ egalement born´ ee dans V et on
peut donc en extraire une sous-suite qui converge (faiblement) dans V vers
u
˚ (th´ eor` eme 1.3.6, annexe A.3.1). D’autre part l’´ equation (4.3) montre que