4.3 M´ ethodes variationnelles
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l’image observ´ ee u d “ Ru 0 ` v (qui est donc une version d´ egrad´ ee de l’image
originale u 0 ), on cherche ` a reconstruire u 0 . Si on suppose que le bruit additif
v est gaussien, la m´ ethode du Maximum de Vraisemblance nous conduit ` a
chercher u 0 comme solution du probl` eme de minimisation
inf
u
}u d ´ Ru}
2
2 ,
o` u } ¨ } 2 d´ esigne la norme dans L
2 . Il s’agit d’un probl` eme inverse mal
pos´ e : l’op´ erateur n’est pas n´ ecessairement inversible (et mˆ eme lorsqu’il est
inversible, son inverse est souvent num´ eriquement difficile `
a calculer). En
d’autres termes, l’existence et/ou l’unicit´ e de solutions n’est pas assur´ ee et si
c’est le cas, la solution n’est pas stable (continue par rapport aux donn´ ees).
Pour le r´ esoudre num´ eriquement, on est amen´ e `
a introduire un terme de
r´ egularisation (a priori sur l’image), et `
a consid´ erer le probl` eme
inf
u
}u d ´ Ru}
2
2
looooomooooon
ajustement aux donn´ ees
`
Lpuq
lo omo on
R´ egularisation
.
Dans ce qui suit, nous ne consid´ ererons que le cas o` u est R est l’op´ erateur
identit´ e (Ru “ u). Commen¸ cons par un proc´ ed´ e de r´ egularisation classique :
celui de Tychonov.
4.3.1 R´ egularisation de Tychonov
C’est un proc´ ed´ e de r´ egularisation tr` es classique mais toutefois trop sommaire dans le cadre du traitement d’image. Nous le pr´ esentons sur un
exemple.
Soit V “ H
1
pΩq et H “ L
2
pΩq : ce sont des espaces de Sobolev (voir
annexe A.5). On consid` ere le probl` eme de minimisation originel (ajustement
aux donn´ ees) :
pPq
min
uPV
}u ´ u d }
2
H ,
o` u u d est l’image observ´ ee.
Dans ce qui suit, on note x¨, ¨ y le crochet de dualit´ e entre V et V
1 (produit
scalaire si on identifie V et son dual V
1 ) et } ¨ } V , } ¨ } H les normes de V et
H respectivement (voir annexe A.3.1).
On voit sur l’exemple suivant que la fonctionnelle u Þ Ñ N 0 puq “ }u ´ u d }
2
H
n’est pas coercive (D´ efinition 1.3.5) sur V . En effet, soient
Ω “s0, 1r, u n pxq “ x
n , u d “ 0.
On voit que }u n } 2 “
1
‘
2n
, }u
1
n } 2 “
n
‘
2n ´ 1
. On a donc
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l’image observ´ ee u d “ Ru 0 ` v (qui est donc une version d´ egrad´ ee de l’image
originale u 0 ), on cherche ` a reconstruire u 0 . Si on suppose que le bruit additif
v est gaussien, la m´ ethode du Maximum de Vraisemblance nous conduit ` a
chercher u 0 comme solution du probl` eme de minimisation
inf
u
}u d ´ Ru}
2
2 ,
o` u } ¨ } 2 d´ esigne la norme dans L
2 . Il s’agit d’un probl` eme inverse mal
pos´ e : l’op´ erateur n’est pas n´ ecessairement inversible (et mˆ eme lorsqu’il est
inversible, son inverse est souvent num´ eriquement difficile `
a calculer). En
d’autres termes, l’existence et/ou l’unicit´ e de solutions n’est pas assur´ ee et si
c’est le cas, la solution n’est pas stable (continue par rapport aux donn´ ees).
Pour le r´ esoudre num´ eriquement, on est amen´ e `
a introduire un terme de
r´ egularisation (a priori sur l’image), et `
a consid´ erer le probl` eme
inf
u
}u d ´ Ru}
2
2
looooomooooon
ajustement aux donn´ ees
`
Lpuq
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R´ egularisation
.
Dans ce qui suit, nous ne consid´ ererons que le cas o` u est R est l’op´ erateur
identit´ e (Ru “ u). Commen¸ cons par un proc´ ed´ e de r´ egularisation classique :
celui de Tychonov.
4.3.1 R´ egularisation de Tychonov
C’est un proc´ ed´ e de r´ egularisation tr` es classique mais toutefois trop sommaire dans le cadre du traitement d’image. Nous le pr´ esentons sur un
exemple.
Soit V “ H
1
pΩq et H “ L
2
pΩq : ce sont des espaces de Sobolev (voir
annexe A.5). On consid` ere le probl` eme de minimisation originel (ajustement
aux donn´ ees) :
pPq
min
uPV
}u ´ u d }
2
H ,
o` u u d est l’image observ´ ee.
Dans ce qui suit, on note x¨, ¨ y le crochet de dualit´ e entre V et V
1 (produit
scalaire si on identifie V et son dual V
1 ) et } ¨ } V , } ¨ } H les normes de V et
H respectivement (voir annexe A.3.1).
On voit sur l’exemple suivant que la fonctionnelle u Þ Ñ N 0 puq “ }u ´ u d }
2
H
n’est pas coercive (D´ efinition 1.3.5) sur V . En effet, soient
Ω “s0, 1r, u n pxq “ x
n , u d “ 0.
On voit que }u n } 2 “
1
‘
2n
, }u
1
n } 2 “
n
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2n ´ 1
. On a donc