4.3 M´ ethodes variationnelles
77
En pratique le param` etre ε permet de r´ egler le niveau de r´ egularisation.
Plus ε est grand, plus la variation totale de la solution, c’est-` a-dire la longueur
des contours de l’image est petite. Le bruit est ´ elimin´ e au prix d’un lissage
de l’image.
Dans [27], A. Chambolle a donn´ e une deuxi` eme version de l’algorithme (1)
en introduisant une projection :
Algorithme 2 Algorithme de Chambolle
Initialisation : n “ 0 ; p 0 “ 0
It´ eration n : on pose
p
n`1
i,j “
p n
i,j ` ρ p∇rdiv p n ´ u d {εsq i,j
max
´
1, p n
i,j ` ρ
ˇ
ˇ
ˇp∇rdiv p n ´ u d {εsq i,j
ˇ
ˇ
ˇ
¯ .
Stop si un crit` ere d’arrˆ et est satisfait.
D’autre part, la convergence est garantie pour ρ ď 1{4 (voir [33]).
4.3.3.2 Algorithme de Nesterov
Une alternative plus rapide est un algorithme dˆ u ` a Y. Nesterov [75], revisit´ e
et adapt´ e au contexte par P. Weiss et al. [96], Y. Nesterov a propos´ e une
m´ ethode pour r´ esoudre
inf
qPQ
E pqq
(4.13)
o` u E est convexe, diff´ erentiable, de d´ eriv´ ee L-Lipschitz et Q est un ensemble
ferm´ e. On se donne une fonction convexe d, x 0 P Q et σ ą 0 tels que
@x P Q dpxq ě
σ
2
}x ´ x 0 }
2 .
L’algorithme est alors le suivant :