5.4.2 Le mod` ele de Mumford-Shah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.5 Fermeture des contours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.6 Segmentation en r´ egions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.6.1 Segmentation par seuillage d’histogramme . . . . . . . . . . . 128
5.6.2 Algorithme K-means . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.6.3 Croissance de r´ egions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.6.4 D´ ecomposition et fusion (Split and merge) . . . . . . . . . . . 133
5.6.5 M´ ethode variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6 Morphologie math´ ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.1 Morphologie math´ ematique ensembliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.1.1 Les op´ erations de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.1.2 Squelettisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.2 Morphologie math´ ematique fonctionnelle - Images `
a niveaux
de gris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2.1 Dilatation, ´ erosion et gradient morphologique . . . . . . . 144
6.2.2 Ouverture et fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.2.3 Filtrage altern´ e s´ equentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.2.4 Segmentation : ligne de partage des eaux (Watershed) 153
7 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.1 St´ eganographie et tatouage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.1.1 Une m´ ethode simple de st´ eganographie . . . . . . . . . . . . . . 158
7.1.2 Tatouage d’images ou !Watermarking " . . . . . . . . . . . . . 162
7.2 Compression par ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.3 Inpainting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.3.1 M´ ethodes variationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.3.2 R´ egularisation L
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.3.3 R´ egularisation de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.3.4 R´ egularisation par variation totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
A Quelques outils math´ ematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
A.1 Analyse de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
A.1.1 S´ eries de Fourier d’un signal p´ eriodique 1D . . . . . . . . . . 177
A.1.2 La transformation de Fourier discr` ete (DFT) et la FFT178
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
L
2
pRq . . . . . . . . . . . . . . . 183
FWT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
A.1.3 La transformation de Fourier
A.2.1 D´ efinition des ondelettes -1D
A.2 Ondelettes
A.2.2 Analyse multi-r´ esolution dans
A.2.3 Algorithme rapide de d´ ecomposition en ondelettes -
A.2.4 Ondelettes 2D
A.2.5 Transform´ ee en Ondelettes 2D directionnelle . . . . . . . . 188
A.2.6 Transform´ ee en Ondelette isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Table des mati` eres
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5.5 Fermeture des contours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.6 Segmentation en r´ egions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.6.1 Segmentation par seuillage d’histogramme . . . . . . . . . . . 128
5.6.2 Algorithme K-means . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.6.3 Croissance de r´ egions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.6.4 D´ ecomposition et fusion (Split and merge) . . . . . . . . . . . 133
5.6.5 M´ ethode variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6 Morphologie math´ ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.1 Morphologie math´ ematique ensembliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.1.1 Les op´ erations de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.1.2 Squelettisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.2 Morphologie math´ ematique fonctionnelle - Images `
a niveaux
de gris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2.1 Dilatation, ´ erosion et gradient morphologique . . . . . . . 144
6.2.2 Ouverture et fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.2.3 Filtrage altern´ e s´ equentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.2.4 Segmentation : ligne de partage des eaux (Watershed) 153
7 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.1 St´ eganographie et tatouage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.1.1 Une m´ ethode simple de st´ eganographie . . . . . . . . . . . . . . 158
7.1.2 Tatouage d’images ou !Watermarking " . . . . . . . . . . . . . 162
7.2 Compression par ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.3 Inpainting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.3.1 M´ ethodes variationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.3.2 R´ egularisation L
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.3.3 R´ egularisation de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.3.4 R´ egularisation par variation totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
A Quelques outils math´ ematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
A.1 Analyse de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
A.1.1 S´ eries de Fourier d’un signal p´ eriodique 1D . . . . . . . . . . 177
A.1.2 La transformation de Fourier discr` ete (DFT) et la FFT178
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
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FWT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
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A.1.3 La transformation de Fourier
A.2.1 D´ efinition des ondelettes -1D
A.2 Ondelettes
A.2.2 Analyse multi-r´ esolution dans
A.2.3 Algorithme rapide de d´ ecomposition en ondelettes -
A.2.4 Ondelettes 2D
A.2.5 Transform´ ee en Ondelettes 2D directionnelle . . . . . . . . 188
A.2.6 Transform´ ee en Ondelette isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
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