3.5 D´ econvolution (cas d’un flou)
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(a) It´ eration 5
(b) It´ eration 10
Fig. 3.24 D´ econvolution par ´ equation de la chaleur inverse : dt “ 0.5
3.5.2 Filtre inverse et algorithme de Van Cittert
L’algorithme de Van Cittert repose sur la formulation fr´ equentielle d’une
convolution. Supposons que h soit l’op´ erateur de flou (inconnu ou donn´ e par
´ etalonnage des appareils de mesure) et qu’on ne prenne pas en compte le
bruit. L’image flout´ ee f v´ erifie f “ h ˚ u, o` u u est l’image originale (qu’on
veut retrouver). Une formulation ´ equivalente est ˆ
f “ ˆ
hˆ u c’est-` a-dire ˆ
u “
ˆ
f
ˆ
h
ou ` ˆ
f d´ esigne la transform´ ee de Fourier de f (Annexe A.1.3). Le filtre inverse
est le plus simple des filtres. Dans certaines conditions, il peut donner de
tr` es bons r´ esultats. Il consiste donc `
a calculer 1{ ˆ
h et ` a l’appliquer ` a l’image
flout´ ee. C’est le meilleur filtre pour d´ econvoluer une image non bruit´ ee. Toutefois il n’est pas toujours possible de calculer 1{ ˆ
h car ˆ
h peut s’annuler. Une
alternative est l’algorithme de Van Cittert.
Posons ˆ
g “ 1 ´ ˆ
h de sorte que formellement on obtient
ˆ
u “
ˆ
f
1 ´ ˆ
g
“
˜ `8
ÿ
k“0
ˆ
g
k
¸
ˆ
f.
Si on pose u o “ f et ˆ
u n “
˜
n
ÿ
k“0
ˆ
g
k
¸
ˆ
f pour tout n ě 1 on obtient
ˆ
u n`1 “ ˆ
f ` ˆ
g ˆ
u n “ ˆ
f ` p1 ´ ˆ
hqˆ u n ,
ou de mani` ere ´ equivalente