3.5 D´ econvolution (cas d’un flou)
59
avec pN, M q est la taille des images p
1 et p
2 . Comme Δf “ div ∇f pour
toute fonction deux fois d´ erivable de R
2 dans R, on peut alors calculer une
version discr` ete du laplacien (ou utiliser les masques de la section 3.4.2).
(a) Image bruit´ ee - bruit gaussien σ “
0.1 (» 25 niveaux de gris)
(b) Image filtr´ ee
Fig. 3.22 Filtrage par EDP de la chaleur avec pas de temps dt “ 0.2 et 10 it´ erations
3.5 D´ econvolution (cas d’un flou)
Une autre source de perturbation d’une image est le flou. Nous avons vu
qu’un filtre de convolution passe-bas permettait d’enlever le bruit additif mais
que l’image filtr´ ee ´ etait flout´ ee. Cela s’explique par le fait que l’op´ erateur de
convolution est r´ egularisant. L’op´ erateur de flou est donc souvent mod´ elis´ e
par un produit de convolution, de noyau positif sym´ etrique h (qui est la
plupart du temps gaussien). Il n’est pas n´ ecessairement inversible (et mˆ eme
lorsqu’il est inversible, son inverse est souvent num´ eriquement difficile `
a calculer).
3.5.1 Approche ! spatiale " : ´ equation de la chaleur
r´ etrograde (inverse)
Nous avons constat´ e pr´ ec´ edemment que faire une convolution par un noyau
gaussien revient `
a r´ esoudre une ´ equation de la chaleur. Le temps final joue
le rˆ ole de l’´ ecart type de la gaussienne. Pour faire l’op´ eration inverse, la
d´ econvolution on peut donc imaginer de r´ esoudre une ´ equation de la chaleur
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avec pN, M q est la taille des images p
1 et p
2 . Comme Δf “ div ∇f pour
toute fonction deux fois d´ erivable de R
2 dans R, on peut alors calculer une
version discr` ete du laplacien (ou utiliser les masques de la section 3.4.2).
(a) Image bruit´ ee - bruit gaussien σ “
0.1 (» 25 niveaux de gris)
(b) Image filtr´ ee
Fig. 3.22 Filtrage par EDP de la chaleur avec pas de temps dt “ 0.2 et 10 it´ erations
3.5 D´ econvolution (cas d’un flou)
Une autre source de perturbation d’une image est le flou. Nous avons vu
qu’un filtre de convolution passe-bas permettait d’enlever le bruit additif mais
que l’image filtr´ ee ´ etait flout´ ee. Cela s’explique par le fait que l’op´ erateur de
convolution est r´ egularisant. L’op´ erateur de flou est donc souvent mod´ elis´ e
par un produit de convolution, de noyau positif sym´ etrique h (qui est la
plupart du temps gaussien). Il n’est pas n´ ecessairement inversible (et mˆ eme
lorsqu’il est inversible, son inverse est souvent num´ eriquement difficile `
a calculer).
3.5.1 Approche ! spatiale " : ´ equation de la chaleur
r´ etrograde (inverse)
Nous avons constat´ e pr´ ec´ edemment que faire une convolution par un noyau
gaussien revient `
a r´ esoudre une ´ equation de la chaleur. Le temps final joue
le rˆ ole de l’´ ecart type de la gaussienne. Pour faire l’op´ eration inverse, la
d´ econvolution on peut donc imaginer de r´ esoudre une ´ equation de la chaleur