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3 D´ ebruitage par filtrage lin´ eaire
Suivant le temps d’´ evolution, on obtient une version plus ou moins liss´ ee
de l’image de d´ epart. On peut alors faire une convolution par le noyau G ‘ 2t
en utilisant une FFT (voir annexe, section A.1.2 ) pour calculer la solution
de l’EDP (3.4). On peut aussi utiliser un sch´ ema aux diff´ erences finies pour
le calcul de celle de l’EDP (3.5). Nous d´ etaillons cela dans la section 3.4.4
suivante.
3.4.4 Mise en œuvre num´ erique
La mise en œuvre num´ erique se fait avec une discr´ etisation en diff´ erences
finies, la plupart du temps explicite en raison de la tr` es grande taille des
images (et donc des matrices associ´ ees). La condition de Neumann est assur´ ee
grˆ ace ` a une r´ eflexion de l’image par rapport ` a ses bords.
Dans ce qui suit, l’image (discr` ete) est not´ ee u et sa valeur au pixel pi, jq :
u i,j . Comme mentionn´ e pr´ ec´ edemment, on choisit le pas de discr´ etisation ´ egal
` a h “ 1. On peut discr´ etiser le gradient de diff´ erentes mani` eres (centr´ ee, `
a
droite, `
a gauche)
δ x u i,j “
u i`1,j ´ u i´1,j
2
, δ y u i,j “
u i,j`1 ´ u i,j´1
2
,
(3.6)
δ
`
x u i,j “ u i`1,j ´ u i,j , δ
`
y u i,j “ u i,j`1 ´ u i,j ,
δ
´
x u i,j “ u i,j ´ u i´1,j , δ
´
y u i,j “ u i,j ´ u i,j´1 .
La norme du gradient peut se calculer par exemple par
|∇u| i,j “
b
pδ
`
x u i,j q 2 ` pδ
`
y u i,j q 2 .
On rappelle que l’op´ erateur de divergence est d´ efini par
div ppx, yq “
Bp 1
Bx
px, yq `
Bp 2
By
px, yq ,
pour tout champ p “ pp 1 , p 2 q de R
2 dans R
2 d´ erivable. Nous verrons dans la
section 4.3.2 du chapitre 4 que l’op´ erateur de divergence est aussi l’op´ erateur
adjoint du gradient (au signe pr` es).
Si l’op´ erateur gradient est discr´ etis´ e par diff´ erences finies ` a droite (avec δ
`
x u
et δ
`
y u), alors une discr´ etisation possible de la divergence d’un couple p “
pp
1 , p
2
q est donn´ ee par
pdiv pq i,j “
$
’
’
&
’
’
%
p 1
i,j ´ p 1
i´1,j si 1 ă i ă N
p 1
i,j
si i “ 1
´p 1
i´1,j
si i “ N
`
$
’
’
&
’
’
%
p 2
i,j ´ p 2
i,j´1 si 1 ă j ă M
p 2
i,j
si j “ 1
´p 2
i,j´1
si j “ M
(3.7)
3 D´ ebruitage par filtrage lin´ eaire
Suivant le temps d’´ evolution, on obtient une version plus ou moins liss´ ee
de l’image de d´ epart. On peut alors faire une convolution par le noyau G ‘ 2t
en utilisant une FFT (voir annexe, section A.1.2 ) pour calculer la solution
de l’EDP (3.4). On peut aussi utiliser un sch´ ema aux diff´ erences finies pour
le calcul de celle de l’EDP (3.5). Nous d´ etaillons cela dans la section 3.4.4
suivante.
3.4.4 Mise en œuvre num´ erique
La mise en œuvre num´ erique se fait avec une discr´ etisation en diff´ erences
finies, la plupart du temps explicite en raison de la tr` es grande taille des
images (et donc des matrices associ´ ees). La condition de Neumann est assur´ ee
grˆ ace ` a une r´ eflexion de l’image par rapport ` a ses bords.
Dans ce qui suit, l’image (discr` ete) est not´ ee u et sa valeur au pixel pi, jq :
u i,j . Comme mentionn´ e pr´ ec´ edemment, on choisit le pas de discr´ etisation ´ egal
` a h “ 1. On peut discr´ etiser le gradient de diff´ erentes mani` eres (centr´ ee, `
a
droite, `
a gauche)
δ x u i,j “
u i`1,j ´ u i´1,j
2
, δ y u i,j “
u i,j`1 ´ u i,j´1
2
,
(3.6)
δ
`
x u i,j “ u i`1,j ´ u i,j , δ
`
y u i,j “ u i,j`1 ´ u i,j ,
δ
´
x u i,j “ u i,j ´ u i´1,j , δ
´
y u i,j “ u i,j ´ u i,j´1 .
La norme du gradient peut se calculer par exemple par
|∇u| i,j “
b
pδ
`
x u i,j q 2 ` pδ
`
y u i,j q 2 .
On rappelle que l’op´ erateur de divergence est d´ efini par
div ppx, yq “
Bp 1
Bx
px, yq `
Bp 2
By
px, yq ,
pour tout champ p “ pp 1 , p 2 q de R
2 dans R
2 d´ erivable. Nous verrons dans la
section 4.3.2 du chapitre 4 que l’op´ erateur de divergence est aussi l’op´ erateur
adjoint du gradient (au signe pr` es).
Si l’op´ erateur gradient est discr´ etis´ e par diff´ erences finies ` a droite (avec δ
`
x u
et δ
`
y u), alors une discr´ etisation possible de la divergence d’un couple p “
pp
1 , p
2
q est donn´ ee par
pdiv pq i,j “
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(3.7)