3.4 Filtrage diff´ erentiel
57
D’autre part, pour t ą 0 on peut d´ eriver directement u par rapport `
a t :
Bu
Bt
pt, xq “
ij
R 2
Bh
Bt
pt, yqu o px ´ yqdy
ce qui donne :
Bu
Bt
pt, xq ´ Δupt, xq “ 0 sur s0, trˆR
2 .
D’autre part, avec
upt, xq “
ij
R 2
1
4πt
exp
ˆ
´
}y}
2
4t
˙
u o px ´ yqdy
on obtient
lim
tÑ0
upt, xq “ xδ x , u o y “ u o pxq,
car la famille de fonctions gaussiennes converge au sens des distributions vers
la mesure de Dirac. On obtient alors le r´ esultat suivant
Proposition 3.4.1 La fonction filtr´ ee upt, ¨q “ hpt, ¨q ˚ u o v´ erifie l’´ equation
aux d´ eriv´ ees partielles suivante (´ equation de la chaleur) :
# Bu
Bt
pt, xq ´ Δupt, xq “ 0 dans s0, T rˆR
2
up0, xq “ u o pxq
x P R
2 ,
(3.4)
o` u u o (qui repr´ esente l’image) est une fonction `
a support compact dans Ω et
Ω est un ouvert de R
2 .
On peut ´ etendre cette formulation en imposant que le support de la fonction upt, ¨q reste dans Ω. On consid` ere alors l’´ equation dans s0, T rˆΩ et on
fixe soit des conditions aux limites au bord de Ω, soit des conditions aux
limites p´ eriodiques en p´ eriodisant la fonction u (si le cadre est rectangle par
exemple). Habituellement, on impose une condition fronti` ere de Neumann,
ce qui donne
$
’
’
’
&
’
’
’
%
Bu
Bt
pt, xq ´ Δupt, xq “ 0 dans s0, T rˆΩ
Bu
Bn
“ 0 sur s0, T rˆBΩ
up0, xq “ u o pxq
x P Ω.
(3.5)
On rappelle que la d´ eriv´ ee normale de u est obtenue en pt, xq Ps0, T rˆBΩ par
Bu
Bn
pt, xq “ p∇upt, xq, n x q ,
o` u n x est le vecteur normal (sortant) `
a BΩ en x