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3 D´ ebruitage par filtrage lin´ eaire
(a) Laplacien 4
(b) Laplacien 8
Fig. 3.21 Valeur absolue du laplacien (avec rehaussement de contraste)
3.4.3 Filtrage par ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles
3.4.3.1 Equation de la chaleur
Consid´ erons un filtrage gaussien dans le cadre continu. On sait que si
l’image de d´ epart est une fonction u o P L
8
pΩq ` a support compact inclus
dans Ω Ă R
2 , l’image filtr´ ee est la convol´ ee de u o avec un noyau gaussien
G σ pxq “ G σ px 1 , x 2 q “
1
2πσ 2 exp
ˆ
´
x
2
1 ` x
2
2
2σ 2
˙
“
1
2πσ 2 exp
ˆ
´
}x}
2
2σ 2
˙
.
On pose upt, xq “ phpt, ¨q ˚ u o qpxq o` u hpt, xq “ G ‘ 2t pxq “
1
4πt
exp
ˆ
´
}x}
2
4t
˙
.
Comme hpt, ¨q P C
8
pR
2
q a ses d´ eriv´ ees born´ ees et u o P L
1
pR
2
q, la convol´ ee
upt, ¨q est aussi C
8 et on peut calculer Δu :
@t ą 0, @x P R
2
Δupt, xq “
B
2 u
Bx 2
1
pt, xq `
B
2 u
Bx 2
2
pt, xq “ pΔhpt, ¨q ˚ u o qpxq.
Un rapide calcul montre que
Δhpt, xq “
ˆ
´
1
4πt 2 `
}x}
2
16πt 3
˙
exp
ˆ
´
}x}
2
4t
˙
“
ˆ
´
1
t
`
}x}
2
4t 2
˙
hpt, xq,
et on obtient
Δupt, xq “
ˆ
´
1
t
`
}x}
2
4t 2
˙
upt, xq.