3.4 Filtrage diff´ erentiel
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@i “ 1, ¨ ¨ ¨ , N ´ 1
f
1
px i q »
f px i ` hq ´ f px i q
h
“
N
L
pf px i`1 q ´ f px i qq .
C’est ce que nous allons faire en dimension 2 pour calculer les gradients discrets. Toutefois la notion de taille de l’image est tr` es relative. En effet, l’image
est essentiellement d´ etermin´ ee par le nombre de pixels. La taille physique,
d´ epend du support sur lequel on va lire l’image. Une image num´ erique apparaissant sur un smartphone n’aura pas la mˆ eme taille, ni la mˆ eme r´ esolution
que la mˆ eme image projet´ ee sur un ´ ecran de cin´ ema.
Si on consid` ere, par exemple, une image carr´ ee de cˆ ot´ e L “ 1(cm), qui comporte N ˆ N pixels, le pas de discr´ etisation est h “ 1{N : il est donc petit
(si N est grand) et la formule d’approximation par le taux de variation est
math´ ematiquement justifi´ ee (car elle est locale). Si on consid` ere la mˆ eme
image sur un support carr´ e de cˆ ot´ e L “ N (cm), le pas h vaut 1 mais le
gradient de l’image n’a pas chang´ e. Comme on ne sait pas quelle sera la taille
du support a priori, nous adopterons la convention suivante : l’image est de
! taille " N ˆ N et le pas h “ 1. Ainsi, on peut d´ efinir le gradient discret de
l’image par
f x px, yq “ f px ` 1, yq ´ f px, yq , f y px, yq “ f px, y ` 1q ´ f px, yq ,
o` u px, yq d´ esigne les coordonn´ ees (enti` eres) du pixel. On peut aussi envisager
des diff´ erences finies ` a gauche, centr´ ees, etc. Pour plus de d´ etails on peut se
r´ ef´ erer ` a la section 3.4.4 ou ` a [84].
On peut alors calculer ces gradients `
a l’aide de convolutions avec des
noyaux tr` es simples : par exemple, l’approximation f x de
Bf
Bx
se fait par
convolution avec r0 ´ 1 1s. Ce noyau n’est pas sym´ etrique mais la formule
g´ en´ erale de convolution discr` ete (3.2) donne :
f x px, yq “
1
ÿ
i“0
ÿ
j“0
f px ` i, y ` jqκ i,j “ ´f px, yq ` f px ` 1, yq.
De mˆ eme l’approximation f y de
Bf
By
se fait par convolution avec
»
–
0
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fi
fl :
f y px, yq “ ´f px, yq ` f px, y ` 1q.
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C’est ce que nous allons faire en dimension 2 pour calculer les gradients discrets. Toutefois la notion de taille de l’image est tr` es relative. En effet, l’image
est essentiellement d´ etermin´ ee par le nombre de pixels. La taille physique,
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que la mˆ eme image projet´ ee sur un ´ ecran de cin´ ema.
Si on consid` ere, par exemple, une image carr´ ee de cˆ ot´ e L “ 1(cm), qui comporte N ˆ N pixels, le pas de discr´ etisation est h “ 1{N : il est donc petit
(si N est grand) et la formule d’approximation par le taux de variation est
math´ ematiquement justifi´ ee (car elle est locale). Si on consid` ere la mˆ eme
image sur un support carr´ e de cˆ ot´ e L “ N (cm), le pas h vaut 1 mais le
gradient de l’image n’a pas chang´ e. Comme on ne sait pas quelle sera la taille
du support a priori, nous adopterons la convention suivante : l’image est de
! taille " N ˆ N et le pas h “ 1. Ainsi, on peut d´ efinir le gradient discret de
l’image par
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des diff´ erences finies ` a gauche, centr´ ees, etc. Pour plus de d´ etails on peut se
r´ ef´ erer ` a la section 3.4.4 ou ` a [84].
On peut alors calculer ces gradients `
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