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3 D´ ebruitage par filtrage lin´ eaire
Fig. 3.18 Exemple d’images textur´ ees
Grˆ ace au plongement dans l’espace ! continu " (de dimension infinie), un
grand nombre d’op´ erations d’analyse peuvent s’exprimer en termes d’´ equations aux d´ eriv´ ees partielles. Ceci permet de donner un fondement math´ ematique satisfaisant aux traitements et aussi de fournir des m´ ethodes pour les calculer, par des sch´ emas num´ eriques de r´ esolution avant ou apr` es discr´ etisation.
Les filtres diff´ erentiels permettent de mettre en ´ evidence certaines variations spatiales de l’image. Ils sont utilis´ es comme traitements de base dans de
nombreuses op´ erations comme le rehaussement de contraste ou la d´ etection
de contours. Les filtres pr´ esent´ es dans cette section sont essentiellement des
filtres passe-haut. Ils permettent d’isoler les d´ etails d’une image (les contours
et les textures sur une image non bruit´ ee et le bruit en plus sur une image
bruit´ ee).
3.4.1 Calcul des gradients discrets
Le gradient de l’image f en un point (pixel) M px, yq, s’il existe est ´ egal ` a :
∇f px, yq “ p
Bf
Bx
px, yq,
Bf
By
px, yqq.
En pratique, il faut approcher ces gradients pour travailler avec des gradients
discrets qui correspondent `
a des taux de variation, calculables mˆ eme si l’image
est discontinue (en particulier au voisinage d’un contour). Les approximations
les plus simples des d´ eriv´ ees directionnelles se font par diff´ erences finies.
Nous allons pr´ eciser ce point dans le cas de la d´ eriv´ ee d’une fonction d’une
seule variable : on se donne une fonction f continue sur r0, Ls et d´ erivable sur
s0, Lr. On peut approcher la d´ eriv´ ee de la fonction en des points x 1 , ¨ ¨ ¨ x N ´1
d’une subdivision (uniforme pour simplifier) de r0, Ls de la forme : x i “
ih, i “ 0, ¨ ¨ ¨ , N o` u h “
L
N est le pas de la grille. Si N est assez grand h est
petit et on peut approcher la d´ eriv´ ee par le taux de variation :
3 D´ ebruitage par filtrage lin´ eaire
Fig. 3.18 Exemple d’images textur´ ees
Grˆ ace au plongement dans l’espace ! continu " (de dimension infinie), un
grand nombre d’op´ erations d’analyse peuvent s’exprimer en termes d’´ equations aux d´ eriv´ ees partielles. Ceci permet de donner un fondement math´ ematique satisfaisant aux traitements et aussi de fournir des m´ ethodes pour les calculer, par des sch´ emas num´ eriques de r´ esolution avant ou apr` es discr´ etisation.
Les filtres diff´ erentiels permettent de mettre en ´ evidence certaines variations spatiales de l’image. Ils sont utilis´ es comme traitements de base dans de
nombreuses op´ erations comme le rehaussement de contraste ou la d´ etection
de contours. Les filtres pr´ esent´ es dans cette section sont essentiellement des
filtres passe-haut. Ils permettent d’isoler les d´ etails d’une image (les contours
et les textures sur une image non bruit´ ee et le bruit en plus sur une image
bruit´ ee).
3.4.1 Calcul des gradients discrets
Le gradient de l’image f en un point (pixel) M px, yq, s’il existe est ´ egal ` a :
∇f px, yq “ p
Bf
Bx
px, yq,
Bf
By
px, yqq.
En pratique, il faut approcher ces gradients pour travailler avec des gradients
discrets qui correspondent `
a des taux de variation, calculables mˆ eme si l’image
est discontinue (en particulier au voisinage d’un contour). Les approximations
les plus simples des d´ eriv´ ees directionnelles se font par diff´ erences finies.
Nous allons pr´ eciser ce point dans le cas de la d´ eriv´ ee d’une fonction d’une
seule variable : on se donne une fonction f continue sur r0, Ls et d´ erivable sur
s0, Lr. On peut approcher la d´ eriv´ ee de la fonction en des points x 1 , ¨ ¨ ¨ x N ´1
d’une subdivision (uniforme pour simplifier) de r0, Ls de la forme : x i “
ih, i “ 0, ¨ ¨ ¨ , N o` u h “
L
N est le pas de la grille. Si N est assez grand h est
petit et on peut approcher la d´ eriv´ ee par le taux de variation :