3.2 Filtrage spatial (bruit additif)
41
D´ efinition 3.2.3 Un filtre 2D est dit s´ eparable s’il est possible de d´ ecomposer
le noyau de convolution h 2D en deux filtres 1D appliqu´ es successivement en
horizontal puis en vertical (ou inversement) :
h 2D “ h
V
1D b h
H
1D ,
o` u le symbole b d´ esigne le produit tensoriel. Plus pr´ ecis´ ement, si U “
pu i q i“1,N et V “ pv i q i“1,N sont deux vecteurs lignes de R
N et U
t est le
vecteur (colonne) transpos´ e de U , alors U b V est le produit matriciel U
t V :
@i, j “ 1, ¨ ¨ ¨ N,
pU b V q i,j “ U i V j .
On peut alors traiter s´ epar´ ement les lignes et les colonnes de l’image ce qui
est un gros avantage pour l’impl´ ementation.
Proposition 3.2.1 Pour qu’un filtre 2D soit s´ eparable, il faut et il suffit que
les coefficients de ses lignes et de ses colonnes soient proportionnels. Plus
pr´ ecis´ ement, un filtre donn´ e par un tableau N ˆ M dont les coefficients sont
a i,j , 1 ď i ď N, 1 ď j ď M , est s´ eparable si et seulement si
@i “ 1, ¨ ¨ ¨ , N, DC
i P R tel que @j “ 1, ¨ ¨ ¨ , M,
a i,j “ C
a 1,j ,
(toutes les lignes sont proportionnelles ` a la premi` ere et donc entre elles) et
@j “ 1, ¨ ¨ ¨ , M, DC
c
j P R tel que @i “ 1, ¨ ¨ ¨ , N,
a i,j “ C
c
j a i,1 ,
(mˆ eme chose pour les colonnes).
Pour une dimension 3 ˆ 3, les filtres s´ eparables sont obtenus comme suit :
a b c b
α
β
γ
“
α
β
γ
ˆ a b c “
aα bα cα
aβ bβ cβ
aγ bγ cγ
.
Exemple 3.2.1 (Filtre de moyenne passe-bas)
1
9
¨
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
25
¨
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
Tableau 3.2 Filtres de moyenne 3 ˆ 3 et 5 ˆ 5 respectivement