3.2 Filtrage spatial (bruit additif)
39
o` u F est la transformation de Fourier 2D (d´ efinie annexe A.1.3.3) et K la
fonction de transfert du filtre. Dans le contexte du traitement d’image le
noyau κ est appel´ e PSF (Point Spread Function) ou masque.
Comme les images num´ eriques sont des objets de dimension finie nous
allons pr´ esenter les filtres dans le cas discret.
Dans tout ce qui suit x et y sont des entiers (coordonn´ ees des pixels) et f est
` a valeurs enti` eres (dans t0, ¨ ¨ ¨ , 255uq. Comme dans le cas unidimensionnel,
on peut distinguer trois types de filtrage :
– le filtre passe-bas diminue le bruit mais att´ enue les d´ etails de l’image
(flou plus prononc´ e),
– le filtre passe-haut accentue les contours et les d´ etails de l’image mais
amplifie le bruit,
– le filtre passe-bande ´ elimine certaines fr´ equences ind´ esirables pr´ esentes
dans l’image.
On ne fait pas en g´ en´ eral une convolution globale qui serait d’une part
coˆ uteuse `
a impl´ ementer, d’autre part r´ egulariserait l’image dans sa globalit´ e
de mani` ere trop prononc´ ee. On choisit des noyaux dont le support est petit
de fa¸ con `
a effectuer une convolution locale au voisinage de chaque pixel.
Concr` etement, cela revient `
a utiliser des masques (discrets) dont le support
ne contient que quelques pixels au voisinage d’un pixel px, yq :
Fig. 3.4 Convolution locale
Le masque du filtre κ est `
a support inclus dans rx 1 , x 2 s ˆ ry 1 , y 2 s :
g x,y “ pf ˚ κq x,y “
x 2
ÿ
i“x 1
y 2
ÿ
j“y 1
f x´i,y´j κ i,j .
(3.2)
G´ en´ eralement, le filtre est de dimensions d 1 , d 2 impaires et est sym´ etrique. En
effet, l’effet d’un filtre doit ˆ etre (a priori) isotrope et il ne faut pas privil´ egier
des directions par rapport ` a d’autres. Dans ce cas
rx 1 , x 2 s “ r´
d 1 ´ 1
2
,
d 1 ´ 1
2
s et
ry 1 , y 2 s “ r´
d 2 ´ 1
2
,
d 2 ´ 1
2
s,
39
o` u F est la transformation de Fourier 2D (d´ efinie annexe A.1.3.3) et K la
fonction de transfert du filtre. Dans le contexte du traitement d’image le
noyau κ est appel´ e PSF (Point Spread Function) ou masque.
Comme les images num´ eriques sont des objets de dimension finie nous
allons pr´ esenter les filtres dans le cas discret.
Dans tout ce qui suit x et y sont des entiers (coordonn´ ees des pixels) et f est
` a valeurs enti` eres (dans t0, ¨ ¨ ¨ , 255uq. Comme dans le cas unidimensionnel,
on peut distinguer trois types de filtrage :
– le filtre passe-bas diminue le bruit mais att´ enue les d´ etails de l’image
(flou plus prononc´ e),
– le filtre passe-haut accentue les contours et les d´ etails de l’image mais
amplifie le bruit,
– le filtre passe-bande ´ elimine certaines fr´ equences ind´ esirables pr´ esentes
dans l’image.
On ne fait pas en g´ en´ eral une convolution globale qui serait d’une part
coˆ uteuse `
a impl´ ementer, d’autre part r´ egulariserait l’image dans sa globalit´ e
de mani` ere trop prononc´ ee. On choisit des noyaux dont le support est petit
de fa¸ con `
a effectuer une convolution locale au voisinage de chaque pixel.
Concr` etement, cela revient `
a utiliser des masques (discrets) dont le support
ne contient que quelques pixels au voisinage d’un pixel px, yq :
Fig. 3.4 Convolution locale
Le masque du filtre κ est `
a support inclus dans rx 1 , x 2 s ˆ ry 1 , y 2 s :
g x,y “ pf ˚ κq x,y “
x 2
ÿ
i“x 1
y 2
ÿ
j“y 1
f x´i,y´j κ i,j .
(3.2)
G´ en´ eralement, le filtre est de dimensions d 1 , d 2 impaires et est sym´ etrique. En
effet, l’effet d’un filtre doit ˆ etre (a priori) isotrope et il ne faut pas privil´ egier
des directions par rapport ` a d’autres. Dans ce cas
rx 1 , x 2 s “ r´
d 1 ´ 1
2
,
d 1 ´ 1
2
s et
ry 1 , y 2 s “ r´
d 2 ´ 1
2
,
d 2 ´ 1
2
s,