3.2 Filtrage spatial (bruit additif)
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d’entr´ ee (input), associe un signal s P Y appel´ e signal de sortie (output) :
A : e Þ Ñ s :“ Apeq .
En pratique, les espaces utilis´ es pour l’´ etude des signaux 1D sont les espaces
L
1
pRq, L
2
pRq ou L
8
pRq si le signal est d´ efini sur R et les espaces L
1
p pIq, L
2
p pIq
ou L
8
p pIq si les signaux sont d´ efinis sur un intervalle fini I de R et p´ eriodis´ es.
Ces espaces sont d´ efinis dans l’annexe A.1 (on peut voir aussi [15, 47] par
exemple).
D´ efinition 3.2.1 (Filtre) Un filtre lin´ eaire est form´ e des espaces d’entr´ ee
et de sortie et d’un op´ erateur lin´ eaire continu qui v´ erifie les deux propri´ et´ es
suivantes :
1. Invariance temporelle : si T a : x Þ Ñ xp¨ ´ aq est l’op´ erateur de translation
alors
T a A “ AT a .
2. Causalit´ e (ou r´ ealisabilit´ e) : si pour tout t o donn´ e, on a la propri´ et´ e suivante :
@ t ă t o x 1 ptq “ x 2 ptq ùñ @t ă t o Ax 1 ptq “ Ax 2 ptq.
Les espaces peuvent ˆ etre de dimension infinie (signaux analogiques) ou finie
(signaux discrets ou num´ eriques). On d´ efinit un signal monochromatique de
la mani` ere suivante
w λ : t Þ Ñ expp2iπλtq ,
(3.1)
de sorte que w nλ “ pw λ q
n .
On peut montrer ([15]) qu’un filtre lin´ eaire associe ` a tout signal d’entr´ ee
monochromatique le mˆ eme signal multipli´ e par un facteur ind´ ependant du
temps, g´ en´ eralement complexe, appel´ e fonction de transfert ou gain complexe du filtre. De plus, un syst` eme lin´ eaire continu est un filtre lin´ eaire si et
seulement si la relation entre l’entr´ ee e et la sortie s est une convolution :
sptq “ ph ˚ eqptq “
ż `8
´8
hpθq ept ´ θq dθ .
Pour les filtres `
a temps discret on a
s n “
ÿ
kPZ
h k e n´k .
En d’autres termes les filtres lin´ eaires continus unidimensionnels
sont et ne sont que des filtres de convolution (o` u la convolution est
soit continue, soit discr` ete).
Le noyau de convolution h est la r´ eponse impulsionnelle du filtre. La
transform´ ee de Fourier continue ( annexe A.1.3) ou discr` ete (annexe A.1.2)
suivant les cas, H :“ ˆ
h de h est la fonction de transfert du filtre.
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d’entr´ ee (input), associe un signal s P Y appel´ e signal de sortie (output) :
A : e Þ Ñ s :“ Apeq .
En pratique, les espaces utilis´ es pour l’´ etude des signaux 1D sont les espaces
L
1
pRq, L
2
pRq ou L
8
pRq si le signal est d´ efini sur R et les espaces L
1
p pIq, L
2
p pIq
ou L
8
p pIq si les signaux sont d´ efinis sur un intervalle fini I de R et p´ eriodis´ es.
Ces espaces sont d´ efinis dans l’annexe A.1 (on peut voir aussi [15, 47] par
exemple).
D´ efinition 3.2.1 (Filtre) Un filtre lin´ eaire est form´ e des espaces d’entr´ ee
et de sortie et d’un op´ erateur lin´ eaire continu qui v´ erifie les deux propri´ et´ es
suivantes :
1. Invariance temporelle : si T a : x Þ Ñ xp¨ ´ aq est l’op´ erateur de translation
alors
T a A “ AT a .
2. Causalit´ e (ou r´ ealisabilit´ e) : si pour tout t o donn´ e, on a la propri´ et´ e suivante :
@ t ă t o x 1 ptq “ x 2 ptq ùñ @t ă t o Ax 1 ptq “ Ax 2 ptq.
Les espaces peuvent ˆ etre de dimension infinie (signaux analogiques) ou finie
(signaux discrets ou num´ eriques). On d´ efinit un signal monochromatique de
la mani` ere suivante
w λ : t Þ Ñ expp2iπλtq ,
(3.1)
de sorte que w nλ “ pw λ q
n .
On peut montrer ([15]) qu’un filtre lin´ eaire associe ` a tout signal d’entr´ ee
monochromatique le mˆ eme signal multipli´ e par un facteur ind´ ependant du
temps, g´ en´ eralement complexe, appel´ e fonction de transfert ou gain complexe du filtre. De plus, un syst` eme lin´ eaire continu est un filtre lin´ eaire si et
seulement si la relation entre l’entr´ ee e et la sortie s est une convolution :
sptq “ ph ˚ eqptq “
ż `8
´8
hpθq ept ´ θq dθ .
Pour les filtres `
a temps discret on a
s n “
ÿ
kPZ
h k e n´k .
En d’autres termes les filtres lin´ eaires continus unidimensionnels
sont et ne sont que des filtres de convolution (o` u la convolution est
soit continue, soit discr` ete).
Le noyau de convolution h est la r´ eponse impulsionnelle du filtre. La
transform´ ee de Fourier continue ( annexe A.1.3) ou discr` ete (annexe A.1.2)
suivant les cas, H :“ ˆ
h de h est la fonction de transfert du filtre.