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A Quelques outils math´ ematiques
red´ efinir un param´ etrage Θ “ Ψ ˝ S
´1 de Γ appel´ e param´ etrage de Γ par
une abscisse curviligne.
Supposons maintenant que la courbe Γ soit param´ etr´ ee par une abscisse
curviligne : Θ : ra, bs Ñ R
2 . La longueur de la courbe est une quantit´ e
intrins` eque mais on peut l’´ ecrire en fonction de la param´ etrisation : pΓ q “
pΘq. On alors le r´ esultat suivant qui nous servira par la suite
Th´ eor` eme 1.7.2 Soit X un ensemble de fonctions C
1 de R sur R
2 repr´ esentant
des courbes ferm´ ees (valeurs de la fonction et de sa d´ eriv´ ee ´ egales aux bornes).
Alors la fonctionnelle
: X Ñ R
`
Θ Þ Ñ pΘq
est Gˆ ateaux diff´ erentiable en toute fonction Θ dont le gradient ∇Θ est non
nul et
@h P X
B
dd
dΘ
pΘq, h
F
“
ż b
a
div
ˆ ∇Θ
}∇Θ}
˙
psq hpsq ds ,
o` u } ¨ } d´ esigne la norme euclidienne de R
2 .
Preuve - L’application N : R
2
Ñ R
` d´ efinie par N pxq “ }x} “
a
x 2
1 ` x 2
2 est
d´ erivable en tout point x ‰ 0 et
∇N pxq “
x
}x}
.
Si f est une fonction C
1 non nulle de ra, b| dans R
2 , le th´ eor` eme des fonctions
compos´ ees donne
d}f }
df
“
f
}f }
.
Soit h P X : calculons la Gˆ ateaux-d´ eriv´ ee de :
B
dd
dΘ
pΘq, h
F
“
ż b
a
∇Θ
}∇Θ}
psq ¨ ∇hpsq ds .
Une int´ egration par parties coupl´ ee ` a la condition aux limites donne (la
courbe est ferm´ ee)
B
dd
dΘ
pΘq, h
F
“
ż b
a
divp
∇Θ
}∇Θ}
psqqhpsq ds .
l