On suppose que I “ ra, bs est un intervalle compact de R. Soit Σ l’ensemble
des subdivisions σ de ra, bs : σ “ tt o “ a, t 1 , ¨ ¨ ¨ , t n´1 , t n “ b u . On pose
σ pΓ q “
n´1
ÿ
k“0
dpΨ pt n`1 q, Ψpt n qq ,
o` u d est la distance euclidienne dans R
2 .
D´ efinition 1.7.1 On dit que la courbe Γ est rectifiable si
sup
σPΣ
σ pΓ q ă `8 .
Ce nombre est la longueur de la courbe Γ : pΓ q. Elle est ind´ ependante de la
param´ etrisation (r´ eguli` ere) choisie.
Remarquons que la longueur v´ erifie la relation de Chasles.
On suppose maintenant que la courbe (c’est-` a-dire Ψ ) est de classe C
1 .
D´ efinition 1.7.2 Soit Γ une courbe rectifiable, connexe, compacte de classe
C
1 . Soit t o P I. On pose
Sptq “
"
pΓ t,t o q si t ě t o ,
´pΓ t o ,t q si t ď t o ,
o` u Γ a,b d´ esigne la courbe obtenue lorsque t P ra, bs.
Th´ eor` eme 1.7.1 La fonction r´ eelle S est d´ erivable sur I et
S
1
ptq “ }Ψ
1
ptq} “
›
›
›
›
dM
dt
ptq
›
›
›
› ,
o` u }¨} d´ esigne la norme euclidienne de R
2 et M ptq “ M pΨ ptqq “ M pxptq, yptqq.
Corollaire 1.7.1 Sous les hypoth` eses pr´ ec´ edentes la longueur de la courbe
s’exprime par la formule :
pΓ q “
ż b
a
}
dM
dt
ptq} dt .
(1.23)
La fonction S est continue dans l’intervalle I. Son image J “ SpIq Ă R est
donc un intervalle et la variable s “ Sptq d´ ecrivant J est appel´ ee abscisse
curviligne de la courbe Γ . Le point M o “ M pt o q est l’origine de l’abscisse
curviligne.
Un point r´ egulier de Γ est un point o` u Ψ
1
ptq ‰ 0. Si l’ensemble des valeurs
du param` etre t telles que M ptq soit un point r´ egulier de Γ est dense dans I,
la fonction S est un hom´ eomorphisme de I dans J “ SpIq. On peut donc
A.7 G´ eom´ etrie des courbes planes
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