212
A Quelques outils math´ ematiques
et avec la semi-continuit´ e inf´ erieure de Φ en fixant n on obtient
@n ě N
Φpu n ´ uq ď lim inf
kÑ8
Φpu n ´ u k q ď ε .
Ceci prouve que Φpu n ´ uq Ñ 0.
l
Terminons par un r´ esultat important de compacit´ e que nous admettrons.
Th´ eor` eme 1.6.6 (Compacit´ e) L’espace BV pΩq s’injecte dans L
1
pΩq de
mani` ere compacte. Plus pr´ ecis´ ement : si pu n q nPN une suite born´ ee de BV pΩq
sup
nPN
}u n } BV pΩq ă `8 ,
alors, il existe une sous-suite pu n k q kPN et une fonction u P BV pΩq telle que
u n k converge fortement vers u dans L
1
pΩq.
Preuve - [43] p.176.
l
Plus g´ en´ eralement on a des injections de type Sobolev :
Th´ eor` eme 1.6.7 (Injection dans les espaces L
p ) On suppose que Ω est
r´ egulier de R
N . Alors
– L’espace BV pΩq s’injecte dans L
p
pΩq de mani` ere continue pour 1 ď
p ď
N
N ´ 1
– L’espace BV pΩq s’injecte dans L
p
pΩq de mani` ere compacte pour 1 ď
p ă
N
N ´ 1
En particulier pour N “ 2 l’espace BV pΩq est contenu dans L
2
pΩq avec
injection continue.
Pour plus de d´ etails sur les fonctions ` a variation born´ ee, on pourra se reporter
` a [43].
Dans ce qui suit on consid´ erera des courbes planes param´ etr´ ees connexes,
compactes.
On consid` ere une courbe param´ etr´ ee pΓ, Ψ q : Ψ est une application d’un
intervalle I de R
2 . C’est une param´ etrisation de Γ :
Γ “ tM px, yq P R
2
| pxptq, yptqq “ Ψ ptq, t P I u.
A.7 G´ eom´ etrie des courbes planes
A.7.1 Abscisse curviligne - longueur