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il vient
@k ě krϕ, εs
ż
Ω
upxq div ϕpxq dx ´ ε ď Φpu k q ,
et donc
ż
Ω
upxq div ϕpxq dx ď lim inf
kÑ`8
Φpu k q .
Comme c’est le cas pour tout ϕ, on obtient
Φpuq ď lim inf
kÑ`8
Φpu k q .
l
Nous admettrons le r´ esultat suivant
Th´ eor` eme 1.6.4 (Approximation r´ eguli` ere) Pour toute fonction u P
BV pΩq, il existe une suite de fonctions pu k q kPN de BV pΩq X C
8
pΩq telle
que
(i) u k Ñ u dans L
1
pΩq et
(ii) Φpu k q Ñ Φpuq (dans R).
La d´ emonstration est technique et utilise un proc´ ed´ e classique de r´ egularisation par convolution. On peut se r´ ef´ erer ` a [43] p.172.
Remarquons que le r´ esultat ci-dessus n’est pas un r´ esultat de densit´ e de
BV pΩq X C
8
pΩq dans BV pΩq car on n’a pas Φpu k ´ uq Ñ 0 mais seulement Φpu k q Ñ Φpuq.
Th´ eor` eme 1.6.5 L’espace BV pΩq muni de la norme
u Þ Ñ }u} BV pΩq “ }u} L 1 ` Φpuq
est un espace de Banach.
Preuve - Soit pu n q nPN une suite de Cauchy dans BV pΩq. C’est aussi une suite
de Cauchy dans L
1
pΩq : elle converge donc vers u P L
1
pΩq. D’autre part, elle
est born´ ee dans BV pΩq (toute suite de Cauchy est born´ ee), donc
DM ą 0, @n
Φpu n q ď M .
D’apr` es le th´ eor` eme 1.6.3,
Φpuq ď lim inf
nÑ8
Φpu n q ď M ă `8 .
Par cons´ equent u P BV pΩq. Soit ε ą 0 et N tel que
@n, k ě N
}u n ´ u k } BV pΩq ď ε .
Donc
@n, k ě N
Φpu n ´ u k q ď ε
L’espace des fonctions ` a variation born´ ee BV pΩq
A.6