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A Quelques outils math´ ematiques
Φpf q “ supt´
ż
Ω
Df ¨ ϕ dx | }ϕ} 8 ď 1 u “ }Df } L 1 ,
et
σ “
$
&
%
Df
|Df |
si Df ‰ 0 ,
0
sinon.
Donc W
1,1
pΩq Ă BV pΩq . En particulier, comme Ω est born´ e
@1 ď p ď `8 W
1,p
pΩq Ă BV pΩq .
Toute fonction d’un espace de Sobolev W
1,p est ` a variation born´ ee.
Remarque 1.6.2 D’apr` es le th´ eor` eme de Radon-Nikodym de d´ ecomposition
des mesures, pour toute fonction u P BV pΩq, nous avons la d´ ecomposition
suivante de Du (d´ eriv´ ee au sens des distributions) :
Du “ ∇u dx ` D
s u ,
o` u ∇u dx est la partie absolument continue de Du par rapport ` a la mesure
de Lebesgue et D
s u est la partie singuli` ere.
Th´ eor` eme 1.6.3 (Semi-continuit´ e inf´ erieure de la variation totale)
L’application u Þ Ñ Φpuq de BV pΩq dans R
` est semi-continue inf´ erieurement
pour la topologie s´ equentielle de L
1
pΩq.
Plus pr´ ecis´ ement, si pu k q est une suite de fonctions de BV pΩq qui converge
vers u fortement dans L
1
pΩq alors
Φpuq ď lim inf
kÑ`8
Φpu k q .
Preuve - Soit ϕ P C
1
c pΩ, R
2
q telle que }ϕ} 8 ď 1. Alors
ż
Ω
upxq div ϕpxq dx “ lim
kÑ`8
ż
Ω
u k pxq div ϕpxq dx .
Donc, pour tout ε ą 0, il existe krϕ, εs tel que pour tout k ě krϕ, εs :
ż
Ω
upxq div ϕpxq dx ´ ε ď
ż
Ω
u k pxq div ϕpxq dx ď
ż
Ω
upxq div ϕpxq dx ` ε .
Comme
ż
Ω
u k pxq div ϕpxq dx ď Φpu k q
A.6.2 Approximation et compacit´ e