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La relation (ii) est une formule d’int´ egration par parties faible. Ce th´ eor` eme
indique que la d´ eriv´ ee faible (au sens des distributions ) d’une fonction de
BV pΩq est une mesure de Radon.
Preuve - Soit f un ´ el´ ement de BV pΩq. On consid` ere la forme lin´ eaire L
d´ efinie sur C
1
c pΩ, R
2
q par
Lpϕq “
ż
Ω
f pxqdiv ϕpxq dx .
Comme f P BV pΩq,
C L
def
“ sup
Lpϕq | ϕ P C
1
c pΩ, R
2
q , }ϕ} 8 ď 1
( ă `8
pour toute fonction ϕ P C
1
c pΩ, R
2
q. Par cons´ equent
@ϕ P C
1
c pΩ, R
2
q
Lpϕq ď C L }ϕ} 8 .
(1.22)
Soit K un compact de Ω. Pour toute fonction ϕ P C
0
c pΩ, R
2
q ` a support
compact dans K, on peut trouver (par densit´ e) une suite de fonctions ϕ k P
C
1
c pΩ, R
2
q qui converge uniform´ ement vers ϕ. Posons alors
¯
Lpϕq “ lim
kÑ`8
Lpϕ k q .
Grˆ ace ` a (1.22) cette limite existe et elle est ind´ ependante de la suite pϕ k q
choisie. On peut donc ainsi ´ etendre L par densit´ e en une forme lin´ eaire ¯
L sur
C
0
c pΩ, R
2
q telle que
sup
¯
Lpϕq | ϕ P C
0
c pΩ, R
2
q , }ϕ} 8 ď 1 , supp ϕ Ă K
( ă `8 .
On conclut alors grˆ ace au th´ eor` eme de Riesz.
l
D’apr` es la propri´ et´ e (1.21), Φpuq “ μpΩq ě 0 : c’est la variation totale de f .
L’application
BV pΩq Ñ R
`
u Þ Ñ }u} BV pΩq “ }u} L 1 ` Φpuq .
est une norme. On munit d´ esormais l’espace BV pΩq de cette norme.
Exemple 1.6.1 Supposons que
f P W
1,1
pΩq “ t f P L
1
pΩq | Df P L
1
pΩq u ,
o` u Df est la d´ eriv´ ee de f au sens des distributions. Soit ϕ P C
1
c pΩ, R
2
q telle
que }ϕ} 8 ď 1. Alors
ż
Ω
f div ϕ dx “ ´
ż
Ω
Df ¨ ϕ dx ď }ϕ} 8
ż
Ω
|Df | dx ď }Df } L 1 ă `8 .
Donc f P BV pΩq. De plus
L’espace des fonctions ` a variation born´ ee BV pΩq
A.6