208
A Quelques outils math´ ematiques
Donc, par int´ egration par parties
ż
Ω
f pxq div ϕpxq dx “
ż
Ω
ˆ
f pxq
Bϕ 1
Bx 1
pxq `
Bϕ 2
Bx 2
pxq
˙
dx
“ ´
ż
Ω
ˆ Bf
Bx 1
pxqϕ 1 pxq `
Bf
Bx 2
pxqϕ 2 pxq
˙
dx
“ ´
ż
Ω
∇f pxq ¨ ϕpxq dx ,
o` u ¨ d´ esigne le produit scalaire de R
2 : x ¨ y “ x 1 y 1 ` x 2 y 2 .
D´ efinition 1.6.2 (P´ erim` etre) Un ensemble E mesurable (pour la mesure
de Lebesgue) dans R
2 est de p´ erim` etre (ou de longueur) fini si sa fonction
caract´ eristique χ E est dans BV pΩq.
On rappelle qu’une mesure de Radon est une mesure finie sur tout compact
et que grˆ ace au th´ eor` eme de Riesz, toute forme L lin´ eaire continue sur C
0
c pΩq
(fonctions continues `
a support compact) est de la forme
Lpf q “
ż
Ω
f pxq dμ ,
o` u μ est une (unique) mesure de Radon associ´ ee ` a L. Plus pr´ ecis´ ement
Th´ eor` eme 1.6.1 ([83] p. 126, [43] p. 49 ) A toute forme lin´ eaire born´ ee
L sur C
0
c pΩ, R
2
q, c’est-` a-dire
@K compact de Ω, sup
Lpϕq |ϕ P C
0
c pΩ, R
2
q , }ϕ} 8 ď 1 , supp ϕ Ă K
( ă `8,
il correspond une unique mesure de Radon positive μ sur Ω et une fonction
μ-mesurable σ (fonction ! signe ") telle que
(i) |σpxq| “ 1, μ p.p. , et
(ii) Lpϕq “
ż
Ω
ϕpxq σpxq dμ pour toute fonction ϕ P C
0
c pΩ, R
2
q .
(iii) De plus μ est la mesure de variation et v´ erifie
μpΩq “ sup
Lpϕq | ϕ P C
0
c pΩ, R
2
q , }ϕ} 8 ď 1 , supp ϕ Ă Ω
(
. (1.21)
Nous pouvons donc donner une propri´ et´ e structurelle des fonctions de BV pΩq.
Th´ eor` eme 1.6.2 Soit f P BV pΩq. Alors il existe une mesure de Radon positive μ sur Ω et une fonction μ-mesurable σ : Ω Ñ R telle que
(i) |σpxq| “ 1, μ p.p. , et
(ii)
ż
Ω
f pxq div ϕpxq dx “ ´
ż
Ω
ϕpxq σpxq dμ pour toute fonction ϕ P C
1
c pΩ, R
2
q.